長さ220mの普通電車に長さ180mの急行電車が追いついてから追い越すまでに40秒かかる。もし普通電車の速さが $\frac{1}{3}$ ならば、普通電車に急行列車が追いついてから追い越すまでに2.5倍の時間がかかるはずである。普通電車の速さは毎時何kmか。

1. 問題の内容

長さ220mの普通電車に長さ180mの急行電車が追いついてから追い越すまでに40秒かかる。もし普通電車の速さが $\frac{1}{3}$ ならば、普通電車に急行列車が追いついてから追い越すまでに2.5倍の時間がかかるはずである。普通電車の速さは毎時何kmか。

2. 解き方の手順

普通電車の速さを $v_1$ [m/s], 急行電車の速さを $v_2$ [m/s]とする。

追い越すのにかかる時間は、電車の長さの合計を相対速度で割ったものなので、

$40 = \frac{220 + 180}{v_2 - v_1}$

$40(v_2 - v_1) = 400$

$v_2 - v_1 = 10$ (1)

普通電車の速さが $\frac{1}{3}v_1$ の場合、かかる時間は2.5倍になるので、

$40 \times 2.5 = 100 = \frac{220 + 180}{v_2 - \frac{1}{3}v_1}$

$100(v_2 - \frac{1}{3}v_1) = 400$

$v_2 - \frac{1}{3}v_1 = 4$ (2)

(1) - (2) より、

$v_2 - v_1 - (v_2 - \frac{1}{3}v_1) = 10 - 4$

$-v_1 + \frac{1}{3}v_1 = 6$

$-\frac{2}{3}v_1 = 6$

$v_1 = -9$

これはありえないので、(1)は

$v_2-v_1=10$

ではなく、$v_1-v_2=10$とすべき。

$v_1 - v_2 = 10$ (1)'

(2)より

$v_2 = \frac{1}{3}v_1 + 4$

(1)'に代入して

$v_1 - \frac{1}{3}v_1 - 4 = 10$

$\frac{2}{3}v_1 = 14$

$v_1 = 21$ [m/s]

普通電車の速度をkm/hに変換する。

$21 \text{ m/s} = 21 \times \frac{3600}{1000} \text{ km/h} = 21 \times 3.6 \text{ km/h} = 75.6 \text{ km/h}$

3. 最終的な答え

毎時(75.6)km