年利率5%で100万円を借り、1年後から毎年10万円ずつ返済する。複利計算で、log10(1.05)=0.0212, log10(2)=0.3010とする。 (1) 3年後の返済額の総額と残りの借金額を求めよ。 (2) 何年後にすべての借金を返し終わるか求めよ。

1. 問題の内容

年利率5%で100万円を借り、1年後から毎年10万円ずつ返済する。複利計算で、log10(1.05)=0.0212, log10(2)=0.3010とする。

(1) 3年後の返済額の総額と残りの借金額を求めよ。

(2) 何年後にすべての借金を返し終わるか求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1年後の借金額は $100 \times 1.05 = 105$ 万円。

1回目の返済後、残りの借金額は $105 - 10 = 95$ 万円。

2年後の借金額は $95 \times 1.05 = 99.75$ 万円。

2回目の返済後、残りの借金額は $99.75 - 10 = 89.75$ 万円。

3年後の借金額は $89.75 \times 1.05 = 94.2375$ 万円。

3回目の返済後、残りの借金額は $94.2375 - 10 = 84.2375$ 万円。

3年間の返済額の総額は $10 \times 3 = 30$ 万円。

(2)

$n$ 年後の残りの借金額を $L_n$ とすると、

$L_0 = 100$

$L_1 = 100 \times 1.05 - 10 = 105 - 10 = 95$

$L_2 = 95 \times 1.05 - 10$

$L_n = L_{n-1} \times 1.05 - 10$

これは等比数列ではないので、総額を計算するのは難しい。

$n$ 年後に完済すると仮定すると、$L_n \le 0$ となる最小の $n$ を求める。

$n$ 年後の残りの借金額を $L_n$ とすると、

$L_n = 100(1.05)^n - 10 \sum_{k=0}^{n-1} (1.05)^k$

$= 100(1.05)^n - 10 \times \frac{(1.05)^n - 1}{1.05-1}$

$= 100(1.05)^n - 10 \times \frac{(1.05)^n - 1}{0.05}$

$= 100(1.05)^n - 200 ((1.05)^n - 1)$

$= 100(1.05)^n - 200(1.05)^n + 200$

$= 200 - 100(1.05)^n$

$L_n \le 0$ となる $n$ を求めると、

$200 - 100(1.05)^n \le 0$

$200 \le 100(1.05)^n$

$2 \le (1.05)^n$

$\log_{10} 2 \le n \log_{10} 1.05$

$0.3010 \le n \times 0.0212$

$n \ge \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.198$

$n \ge 15$

3. 最終的な答え

(1) 返済額の総額は30万円、残りの借金額は84.2375万円。

(2) 15年後にすべてのお金を返し終わる。