A駅からD駅を結ぶ鉄道があり、各駅の間の距離、列車の種類と出発時刻が与えられています。 (1) 10時30分にA駅を出発する普通列車について、$x$ と $y$ の関係を表すグラフを図にかき入れなさい。 (2) 10時25分にA駅を出発する快速列車について、$x$ と $y$ の関係を表す式を答えなさい。また、$x$ の変域も答えなさい。 (3) 10時10分にD駅を出発しA駅に向かう快速列車があります。 (ア) この快速列車がA駅を10時00分に出発する普通列車と出会う時刻を答えなさい。 (イ) この快速列車がA駅を10時25分に出発する快速列車とすれ違うのは、A駅から何km離れた場所か答えなさい。

1. 問題の内容

A駅からD駅を結ぶ鉄道があり、各駅の間の距離、列車の種類と出発時刻が与えられています。

(1) 10時30分にA駅を出発する普通列車について、$x$ と $y$ の関係を表すグラフを図にかき入れなさい。

(2) 10時25分にA駅を出発する快速列車について、$x$ と $y$ の関係を表す式を答えなさい。また、$x$ の変域も答えなさい。

(3) 10時10分にD駅を出発しA駅に向かう快速列車があります。

(ア) この快速列車がA駅を10時00分に出発する普通列車と出会う時刻を答えなさい。

(イ) この快速列車がA駅を10時25分に出発する快速列車とすれ違うのは、A駅から何km離れた場所か答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) 10時30分にA駅を出発する普通列車のグラフ

* A駅からB駅まで: 10km。時速60kmなので、10分かかる。

* B駅で5分停車。

* B駅からC駅まで: 25km。時速60kmなので、25分かかる。

* C駅で5分停車。

* C駅からD駅まで: 5km。時速60kmなので、5分かかる。

* 以上から、グラフは以下のようになる。

* (30, 0)から(40, 10)まで直線を引く。

* (40, 10)から(45, 10)まで水平な直線を引く。

* (45, 10)から(70, 35)まで直線を引く。

* (70, 35)から(75, 35)まで水平な直線を引く。

* (75, 35)から(80, 40)まで直線を引く。

(2) 10時25分にA駅を出発する快速列車について

* 快速列車の速さは時速80km。

* $y = \frac{80}{60}(x-25) = \frac{4}{3}(x-25)$

* D駅まで40kmなので、$40 = \frac{4}{3}(x-25)$ を解くと、$x = 55$。

* $x$ の変域は $25 \le x \le 55$

(3) 10時10分にD駅を出発しA駅に向かう快速列車について

(ア) A駅を10時00分に出発する普通列車との出会い

* 普通列車: $y = x$ (0 <= x <= 10), $y = 10$ (10 <= x <= 15), $y = x-5$ (15 <= x <= 40), $y = 35$ (40 <= x <= 45), $y = x-10$ (45 <= x <= 50)

* D駅を10時10分に出発する快速列車: $y = 40 - \frac{4}{3}(x-10) = \frac{160}{3} - \frac{4}{3}x$

* $x$ が 15分から40分の間に出会うと仮定すると、$x-5 = \frac{160}{3} - \frac{4}{3}x$。

* $\frac{7}{3}x = \frac{175}{3}$ より $x = 25$分。

* よって、10時25分に出会う。

(イ) A駅を10時25分に出発する快速列車とのすれ違い

* 10時25分に出発する快速列車: $y = \frac{4}{3}(x-25)$

* D駅を10時10分に出発する快速列車: $y = 40 - \frac{4}{3}(x-10)$

* $\frac{4}{3}(x-25) = 40 - \frac{4}{3}(x-10)$

* $\frac{8}{3}x = 40 + \frac{4}{3}(25+10) = 40 + \frac{140}{3} = \frac{260}{3}$

* $x = \frac{260}{8} = \frac{65}{2} = 32.5$分

* $y = \frac{4}{3}(32.5-25) = \frac{4}{3}(7.5) = 10$km

3. 最終的な答え

(1) グラフは上記参照。

(2) $y = \frac{4}{3}(x-25)$ , $25 \le x \le 55$

(3) (ア) 10時25分 (イ) 10km