ばねの一端を天井に固定し、質量2.0kgのおもりAをつるすとばねの長さが0.38mになり、質量3.0kgのおもりBをつるすとばねの長さが0.45mになった。重力加速度の大きさを$9.8 m/s^2$とする。このとき、ばねの自然長$l$とばね定数$k$を求める。

1. 問題の内容

ばねの一端を天井に固定し、質量2.0kgのおもりAをつるすとばねの長さが0.38mになり、質量3.0kgのおもりBをつるすとばねの長さが0.45mになった。重力加速度の大きさを$9.8 m/s^2$とする。このとき、ばねの自然長$l$とばね定数$k$を求める。

2. 解き方の手順

まず、おもりAをつるしたときの力のつり合いを考えます。ばねの伸びを$x_A$とすると、$x_A = 0.38 - l$ です。おもりAには重力$m_A g$とばねの弾性力$k x_A$が働きます。つり合いの式は次のようになります。

$k x_A = m_A g$

同様に、おもりBをつるしたときの力のつり合いを考えます。ばねの伸びを$x_B$とすると、$x_B = 0.45 - l$ です。おもりBには重力$m_B g$とばねの弾性力$k x_B$が働きます。つり合いの式は次のようになります。

$k x_B = m_B g$

これらの式に値を代入します。$m_A = 2.0 kg$, $m_B = 3.0 kg$, $g = 9.8 m/s^2$ なので、

$k (0.38 - l) = 2.0 \times 9.8 = 19.6$

$k (0.45 - l) = 3.0 \times 9.8 = 29.4$

これらの連立方程式を解きます。2つ目の式から1つ目の式を引くと、

$k (0.45 - l) - k (0.38 - l) = 29.4 - 19.6$

$k (0.45 - 0.38) = 9.8$

$k (0.07) = 9.8$

$k = \frac{9.8}{0.07} = 140 N/m$

これを1つ目の式に代入すると、

$140 (0.38 - l) = 19.6$

$0.38 - l = \frac{19.6}{140} = 0.14$

$l = 0.38 - 0.14 = 0.24 m$

3. 最終的な答え

ばねの自然長 $l = 0.24 m$

ばね定数 $k = 140 N/m$