$x$軸上を運動する物体の位置$x$[m]と経過時間$t$[s]の関係を表すx-tグラフが与えられている。 (1) 0~2.0秒の間と、2.0~4.0秒の間の平均の速さ$\overline{v_{AB}}$[m/s], $\overline{v_{BC}}$[m/s]を求める。 (2) 時刻2.0秒と時刻4.0秒における瞬間の速さ$v_B$[m/s], $v_C$[m/s]を求める。

1. 問題の内容

$x$軸上を運動する物体の位置$x$[m]と経過時間$t$[s]の関係を表すx-tグラフが与えられている。

(1) 0~2.0秒の間と、2.0~4.0秒の間の平均の速さ$\overline{v_{AB}}$[m/s], $\overline{v_{BC}}$[m/s]を求める。

(2) 時刻2.0秒と時刻4.0秒における瞬間の速さ$v_B$[m/s], $v_C$[m/s]を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均の速さは、時間間隔内の位置の変化を時間で割ったものである。

$\overline{v_{AB}}$は、0秒から2.0秒の間の平均の速さなので、$A$点と$B$点の位置座標を読み取り、

$\overline{v_{AB}} = \frac{x_B - x_A}{t_B - t_A}$

を計算する。

同様に、$\overline{v_{BC}}$は、2.0秒から4.0秒の間の平均の速さなので、$B$点と$C$点の位置座標を読み取り、

$\overline{v_{BC}} = \frac{x_C - x_B}{t_C - t_B}$

を計算する。

(2) 瞬間の速さは、x-tグラフの接線の傾きで表される。

$v_B$は、時刻2.0秒における瞬間の速さなので、点$B$における接線の傾きを読み取る。問題文より、グラフに点$B$における接線が描かれているので、この直線の傾きを計算する。グラフより、この接線は$(1.0, 0)$と$(2.0, 2.0)$を通るので、

$v_B = \frac{2.0-0}{2.0-1.0}$

で計算できる。

同様に、$v_C$は、時刻4.0秒における瞬間の速さなので、点$C$における接線の傾きを読み取る。問題文より、グラフに点$C$における接線が描かれているので、この直線の傾きを計算する。グラフより、この接線は$(2.0, 0)$と$(4.0, 6.0)$を通るので、

$v_C = \frac{6.0-0}{4.0-2.0}$

で計算できる。

3. 最終的な答え

(1)

グラフより、$x_A = 0$, $x_B = 2.0$, $x_C = 8.0$である。

$\overline{v_{AB}} = \frac{2.0 - 0}{2.0 - 0} = 1.0$[m/s]

$\overline{v_{BC}} = \frac{8.0 - 2.0}{4.0 - 2.0} = \frac{6.0}{2.0} = 3.0$[m/s]

(2)

$v_B = \frac{2.0-0}{2.0-1.0} = \frac{2.0}{1.0} = 2.0$[m/s]

$v_C = \frac{6.0-0}{4.0-2.0} = \frac{6.0}{2.0} = 3.0$[m/s]

(1) $\overline{v_{AB}} = 1.0$[m/s], $\overline{v_{BC}} = 3.0$[m/s]

(2) $v_B = 2.0$[m/s], $v_C = 3.0$[m/s]