単振り子の周期 $T$ と糸の長さ $l$ を測定し、$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ の関係から重力加速度 $g$ を求めたい。$T$ の誤差が $\Delta T$、$l$ の誤差が $\Delta l$ であるとき、実験から求められる重力加速度 $g$ の誤差 $\Delta g$ を近似的にどのように表せるかを求める問題です。

1. 問題の内容

単振り子の周期 $T$ と糸の長さ $l$ を測定し、$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ の関係から重力加速度 $g$ を求めたい。$T$ の誤差が $\Delta T$、$l$ の誤差が $\Delta l$ であるとき、実験から求められる重力加速度 $g$ の誤差 $\Delta g$ を近似的にどのように表せるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$g$ を $T$ と $l$ の関数として表します。

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ より、

$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$

したがって、

$g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$

$g$ の全微分 $dg$ は、

$dg = \frac{\partial g}{\partial l} dl + \frac{\partial g}{\partial T} dT$

偏微分を計算します。

$\frac{\partial g}{\partial l} = \frac{4\pi^2}{T^2}$

$\frac{\partial g}{\partial T} = 4\pi^2 l \cdot (-2)T^{-3} = -\frac{8\pi^2 l}{T^3}$

したがって、$dg$ は、

$dg = \frac{4\pi^2}{T^2} dl - \frac{8\pi^2 l}{T^3} dT$

微小変化を誤差で置き換えます。$dg \rightarrow \Delta g$, $dl \rightarrow \Delta l$, $dT \rightarrow \Delta T$

$\Delta g = \frac{4\pi^2}{T^2} \Delta l - \frac{8\pi^2 l}{T^3} \Delta T$

さらに、$g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$ より、$4\pi^2 = \frac{gT^2}{l}$ なので、これを代入します。

$\Delta g = \frac{gT^2}{lT^2} \Delta l - \frac{2gT^2 l}{lT^3} \Delta T = g \frac{\Delta l}{l} - 2g \frac{\Delta T}{T}$

$\Delta g = g (\frac{\Delta l}{l} - 2\frac{\Delta T}{T})$

絶対値を取って誤差の大きさだけに関心を持つ場合は、

$|\Delta g| \approx g (|\frac{\Delta l}{l}| + 2|\frac{\Delta T}{T}|)$

3. 最終的な答え

重力加速度の誤差 $\Delta g$ は、

$\Delta g \approx g (\frac{\Delta l}{l} - 2\frac{\Delta T}{T})$

誤差の大きさは、

$|\Delta g| \approx g (|\frac{\Delta l}{l}| + 2|\frac{\Delta T}{T}|)$