ばねの一端を天井に固定し、他端に質量 $2.0\ kg$ のおもりAをつるしたところ長さが $0.38\ m$ になり、質量 $3.0\ kg$ のおもりBをつるしたところ長さが $0.45\ m$ になった。重力加速度の大きさを $9.8\ m/s^2$ とする。ばねの自然の長さ $l$ とばね定数 $k$ を求める問題。

1. 問題の内容

ばねの一端を天井に固定し、他端に質量 $2.0\ kg$ のおもりAをつるしたところ長さが $0.38\ m$ になり、質量 $3.0\ kg$ のおもりBをつるしたところ長さが $0.45\ m$ になった。重力加速度の大きさを $9.8\ m/s^2$ とする。ばねの自然の長さ $l$ とばね定数 $k$ を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、おもりAをつるしたときと、おもりBをつるしたときの力のつり合いの式を立てる。

おもりAをつるしたとき、ばねの伸びを $x_A$ とすると、

$x_A = 0.38 - l$

力のつり合いより、

$k x_A = m_A g$

$k (0.38 - l) = 2.0 \times 9.8$

おもりBをつるしたとき、ばねの伸びを $x_B$ とすると、

$x_B = 0.45 - l$

力のつり合いより、

$k x_B = m_B g$

$k (0.45 - l) = 3.0 \times 9.8$

２つの式から $k$ と $l$ を求める。

$k (0.38 - l) = 19.6$ --- (1)

$k (0.45 - l) = 29.4$ --- (2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{0.45 - l}{0.38 - l} = \frac{29.4}{19.6} = \frac{3}{2}$

$2(0.45 - l) = 3(0.38 - l)$

$0.90 - 2l = 1.14 - 3l$

$l = 1.14 - 0.90 = 0.24$

$l = 0.24\ m$ を(1)式に代入すると、

$k (0.38 - 0.24) = 19.6$

$k (0.14) = 19.6$

$k = \frac{19.6}{0.14} = 140$

3. 最終的な答え

ばねの自然の長さ: $l = 0.24\ m$

ばね定数: $k = 140\ N/m$