理想気体の状態方程式 $pV = RT$ (1モル) が与えられている。定圧熱膨張率 $\beta = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$ と等温圧縮率 $\kappa = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T$ を求めよ。

1. 問題の内容

理想気体の状態方程式 $pV = RT$ (1モル) が与えられている。定圧熱膨張率 $\beta = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$ と等温圧縮率 $\kappa = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、状態方程式 $pV = RT$ から、$V$ を $p$ と $T$ の関数として表す。

$V = \frac{RT}{p}$

(1) 定圧熱膨張率 $\beta$ を求める。

$V = \frac{RT}{p}$ を $T$ で偏微分する (圧 $p$ は一定)。

$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p = \frac{R}{p}$

したがって、

$\beta = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p = \frac{1}{V} \frac{R}{p} = \frac{p}{RT} \frac{R}{p} = \frac{1}{T}$

(2) 等温圧縮率 $\kappa$ を求める。

$V = \frac{RT}{p}$ を $p$ で偏微分する (温度 $T$ は一定)。

$\left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T = - \frac{RT}{p^2}$

したがって、

$\kappa = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T = - \frac{1}{V} \left( - \frac{RT}{p^2} \right) = \frac{p}{RT} \frac{RT}{p^2} = \frac{1}{p}$

3. 最終的な答え

定圧熱膨張率: $\beta = \frac{1}{T}$

等温圧縮率: $\kappa = \frac{1}{p}$