電気双極子モーメント $M$ による電位 $V(r)$ が与えられており、 $V(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3} \quad (r = |\mathbf{r}|)$ これを用いて、電気双極子モーメント $M$ による電界 $E(r)$ が $\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ \mathbf{M} - \frac{3(\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^2} \right]$ で与えられることを示す。

1. 問題の内容

電気双極子モーメント $M$ による電位 $V(r)$ が与えられており、

$V(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3} \quad (r = |\mathbf{r}|)$

これを用いて、電気双極子モーメント $M$ による電界 $E(r)$ が

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ \mathbf{M} - \frac{3(\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^2} \right]$

で与えられることを示す。

2. 解き方の手順

電界 $\mathbf{E}$ は電位 $V$ の勾配の負で与えられる。つまり、$\mathbf{E} = -\nabla V$ である。

ここで、

$V(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3}$

なので、

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla \left( \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3} \right) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \nabla \left( \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{r^3} \right)$

となる。

ここで、ベクトル解析の公式を用いる。

$\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})$

$\nabla (\frac{1}{r^3}) = -\frac{3 \mathbf{r}}{r^5}$

$\nabla \left( \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{r^3} \right) = \left( \mathbf{M} \cdot \nabla \right) \frac{\mathbf{r}}{r^3} + \left( \frac{1}{r^3} \nabla \right) \left( \mathbf{M} \cdot \mathbf{r} \right)$

$\mathbf{M}$ は定ベクトルなので、$\nabla \times \mathbf{M} = 0$ となる。

また $\mathbf{r}$ に関しても $\nabla \times \mathbf{r} = 0$

また $\nabla (\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) = (\mathbf{M} \cdot \nabla) \mathbf{r} + (\mathbf{r} \cdot \nabla) \mathbf{M} + \mathbf{M} \times (\nabla \times \mathbf{r}) + \mathbf{r} \times (\nabla \times \mathbf{M}) = \mathbf{M}$

$\left( \frac{1}{r^3} \nabla \right) \left( \mathbf{M} \cdot \mathbf{r} \right) = \frac{1}{r^3} \mathbf{M}$

$\left( \mathbf{M} \cdot \nabla \right) \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \sum_{i=1}^3 M_i \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \sum_{i=1}^3 M_i \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{x_j \hat{e}_j}{r^3}$

$= \sum_{i=1}^3 M_i \left( \frac{\delta_{ij}}{r^3} - \frac{3x_j x_i}{r^5} \right) \hat{e}_j$

$= \frac{\mathbf{M}}{r^3} - \frac{3 (\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^5}$

よって、

$\nabla \left( \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{r^3} \right) = \frac{\mathbf{M}}{r^3} - \frac{3 (\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^5} + \frac{\mathbf{M}}{r^3} = \frac{3(\mathbf{M} \cdot \mathbf{r})\mathbf{r}}{r^5}$

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{\mathbf{M}}{r^3} - \frac{3 (\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^5} + \frac{\mathbf{M}}{r^3} \right)$

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left( \frac{\mathbf{M}}{r^3} - \frac{3 (\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^5} + \frac{\mathbf{M}}{r^3}\right)$

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \nabla \left( \frac{\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}}{r^3} \right)$

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{\mathbf{M}}{r^3} - 3 (\mathbf{M}\cdot \mathbf{r}) \frac{\mathbf{r}}{r^5}\right]$

したがって

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3}\left[ \mathbf{M} - \frac{3 (\mathbf{M}\cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^2}\right]$

3. 最終的な答え

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} \left[ \frac{3(\mathbf{M} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^2} - \mathbf{M} \right]$