ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合の、ボールを投げ上げた時刻から最高到達点に達するまでの時刻 $T_m$ を、ボールの質量 $m$、空気抵抗の比例定数 $\lambda$、初速度の鉛直上方向成分 $V_0$、重力加速度 $g$ を用いて表した式が与えられています。$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$。この式中の整数 $A$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合の、ボールを投げ上げた時刻から最高到達点に達するまでの時刻 $T_m$ を、ボールの質量 $m$、空気抵抗の比例定数 $\lambda$、初速度の鉛直上方向成分 $V_0$、重力加速度 $g$ を用いて表した式が与えられています。$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$。この式中の整数 $A$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ボールの運動方程式は、鉛直上向きを正とすると、

$m \frac{dv}{dt} = -mg - \lambda v$

となります。ここで、$v$ はボールの速度です。初期条件は $v(0) = V_0$ です。

この微分方程式を解くために、変数分離を行います。

$\frac{dv}{mg + \lambda v} = -\frac{dt}{m}$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dv}{mg + \lambda v} = \int -\frac{dt}{m}$

$\frac{1}{\lambda} \log(mg + \lambda v) = -\frac{t}{m} + C_1$

初期条件 $v(0) = V_0$ を代入すると、

$\frac{1}{\lambda} \log(mg + \lambda V_0) = C_1$

したがって、

$\frac{1}{\lambda} \log(mg + \lambda v) = -\frac{t}{m} + \frac{1}{\lambda} \log(mg + \lambda V_0)$

$\log(mg + \lambda v) = -\frac{\lambda t}{m} + \log(mg + \lambda V_0)$

$mg + \lambda v = (mg + \lambda V_0) e^{-\frac{\lambda t}{m}}$

$\lambda v = (mg + \lambda V_0) e^{-\frac{\lambda t}{m}} - mg$

$v = \frac{mg + \lambda V_0}{\lambda} e^{-\frac{\lambda t}{m}} - \frac{mg}{\lambda}$

最高到達点では $v = 0$ なので、$T_m$ では

$0 = \frac{mg + \lambda V_0}{\lambda} e^{-\frac{\lambda T_m}{m}} - \frac{mg}{\lambda}$

$\frac{mg}{\lambda} = \frac{mg + \lambda V_0}{\lambda} e^{-\frac{\lambda T_m}{m}}$

$\frac{mg}{mg + \lambda V_0} = e^{-\frac{\lambda T_m}{m}}$

両辺の対数をとると、

$\log \left( \frac{mg}{mg + \lambda V_0} \right) = -\frac{\lambda T_m}{m}$

$\log(mg) - \log(mg + \lambda V_0) = -\frac{\lambda T_m}{m}$

$\log(mg + \lambda V_0) - \log(mg) = \frac{\lambda T_m}{m}$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \log \left( \frac{mg + \lambda V_0}{mg} \right) = \frac{m}{\lambda} \log \left( 1 + \frac{\lambda V_0}{mg} \right)$

$T_m = m^1 \lambda^{-1} \log \left( 1 + m^{-1} \lambda^1 V_0^1 g^{-1} \right)$

したがって、 $A = 1$, $B = -1$, $C = 1$, $D = -1$, $E = 1$, $F = 1$, $G = -1$。

3. 最終的な答え

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