ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける状況を考えます。ボールを投げ上げた時刻を $t=0$ とし、初速度の鉛直上向き成分の大きさを $V_0$ とします。ボールが最高到達点に達する時刻 $T_m$ を、ボールの質量 $m$、空気抵抗の比例定数 $\lambda$、$V_0$、重力加速度 $g$ を用いて表す式が与えられています。その式の形は $T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ です。問題は、この式の指数 $A$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける状況を考えます。ボールを投げ上げた時刻を $t=0$ とし、初速度の鉛直上向き成分の大きさを $V_0$ とします。ボールが最高到達点に達する時刻 $T_m$ を、ボールの質量 $m$、空気抵抗の比例定数 $\lambda$、$V_0$、重力加速度 $g$ を用いて表す式が与えられています。その式の形は $T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ です。問題は、この式の指数 $A$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

ボールに働く力は、下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する上向きの空気抵抗 $\lambda v$ です。運動方程式は、

$m \frac{dv}{dt} = -mg - \lambda v$

と表されます。

この微分方程式を解くために、変数分離を行います。

$\frac{dv}{mg + \lambda v} = -\frac{dt}{m}$

両辺を積分します。

$\int \frac{dv}{mg + \lambda v} = -\int \frac{dt}{m}$

$\frac{1}{\lambda} \ln(mg + \lambda v) = -\frac{t}{m} + C_1$

$t=0$ のとき、$v=V_0$ なので、

$\frac{1}{\lambda} \ln(mg + \lambda V_0) = C_1$

したがって、

$\frac{1}{\lambda} \ln(mg + \lambda v) = -\frac{t}{m} + \frac{1}{\lambda} \ln(mg + \lambda V_0)$

$\ln(mg + \lambda v) = -\frac{\lambda t}{m} + \ln(mg + \lambda V_0)$

$mg + \lambda v = e^{-\frac{\lambda t}{m}} (mg + \lambda V_0)$

$v = \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{\lambda t}{m}} (mg + \lambda V_0) - \frac{mg}{\lambda}$

最高到達点では $v = 0$ なので、$T_m$ で $v=0$ とします。

$0 = \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{\lambda T_m}{m}} (mg + \lambda V_0) - \frac{mg}{\lambda}$

$mg = e^{-\frac{\lambda T_m}{m}} (mg + \lambda V_0)$

$e^{\frac{\lambda T_m}{m}} = \frac{mg + \lambda V_0}{mg}$

$\frac{\lambda T_m}{m} = \ln\left(\frac{mg + \lambda V_0}{mg}\right)$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \ln\left(\frac{mg + \lambda V_0}{mg}\right)$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \ln\left(1 + \frac{\lambda V_0}{mg}\right)$

$T_m = m^1 \lambda^{-1} \log(e(1+\frac{\lambda V_0}{mg})) = m^1 \lambda^{-1} \log(e(1+\frac{m^0 \lambda^1 V_0^1 g^{-1}}{1}))$

$T_m = m^1 \lambda^{-1} \log(C + m^0 \lambda^1 V_0^1 g^{-1})$

$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ と比較すると、$A = 1$。

3. 最終的な答え

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