ボールを投げ上げたときの最高到達点における速さ $V_M$ を、ボールの質量 $m$、比例定数 $\lambda$、初速度の鉛直成分 $V_0$、水平成分 $U_0$、重力加速度 $g$ を用いて表す問題です。ただし、$V_M$ は以下の形式で与えられています。 $V_M = \frac{U_0^A g^B}{C + m^D \lambda^E V_0^F g^G}$ ここで、$A, B, C, D, E, F, G$ は整数です。

1. 問題の内容

ボールを投げ上げたときの最高到達点における速さ $V_M$ を、ボールの質量 $m$、比例定数 $\lambda$、初速度の鉛直成分 $V_0$、水平成分 $U_0$、重力加速度 $g$ を用いて表す問題です。ただし、$V_M$ は以下の形式で与えられています。

$V_M = \frac{U_0^A g^B}{C + m^D \lambda^E V_0^F g^G}$

ここで、$A, B, C, D, E, F, G$ は整数です。

2. 解き方の手順

ボールが最高到達点に達したとき、鉛直方向の速度成分は $0$ になります。したがって、最高到達点での速さは水平方向の速度成分のみで決まります。

空気抵抗が速度に比例するため、水平方向の運動方程式は次のようになります。

$m \frac{dv_x}{dt} = -\lambda v_x$

これを解くと、水平方向の速度 $v_x(t)$ は次のようになります。

$v_x(t) = U_0 e^{-\frac{\lambda}{m}t}$

最高到達点での水平方向の速度が $V_M$ なので、

$V_M = U_0 e^{-\frac{\lambda}{m} t_h}$

となります。ここで、$t_h$ は最高到達点に達するまでの時間です。鉛直方向の運動を考えると、$V_0$ で投げ上げたボールが最高到達点に達するまでにかかる時間は、空気抵抗を考慮すると厳密に求めるのは困難です。しかし、問題文から$V_M$ は与えられた変数で表せるはずであるため、最高到達点における速度は、$U_0$のみに依存すると推測できます. なぜなら、重力加速度と比例定数によって減速する速度は、鉛直方向の速度が0になることで水平方向の速度に影響を与えないため。

したがって、$V_M = U_0 e^{-\frac{\lambda}{m}t}$　より、$V_M$は$U_0$に比例すると考えられます。

次に、$A, B, C, D, E, F, G$ を決定します。

最高到達点では鉛直方向の速度成分が0なので、速度は水平方向成分のみです。水平方向には空気抵抗が働きますが、速度は保存されます。したがって、$V_M = U_0$ となります。

これを、与えられた形式に合わせると、

$V_M = \frac{U_0^A g^B}{C + m^D \lambda^E V_0^F g^G} = U_0$

分子は $U_0^1 g^0$ である必要があるので、$A = 1, B = 0$。分母は1になる必要があるので、$C = 1, D = 0, E = 0, F = 0, G = 0$。

3. 最終的な答え

$A = 1, B = 0, C = 1, D = 0, E = 0, F = 0, G = 0$

したがって、

$V_M = \frac{U_0^1 g^0}{1 + m^0 \lambda^0 V_0^0 g^0} = \frac{U_0}{1} = U_0$

最終的な答えは:

$V_M = U_0$