ビルの屋上から初速度 $v_0$ で小球を鉛直上方に投げ上げた。重力加速度の大きさを $g$ とする。 (1) 小球が最高点に達する時刻 $t_1$ を求めよ。 (2) 小球がビルの屋上に戻ってくる時刻を $t_2$ とすると、$t_2 = 2t_1$ が成り立つことを示せ。 (3) 小球がビルの屋上に戻ってきたときの速度が $-v_0$ になることを示せ。

1. 問題の内容

ビルの屋上から初速度 $v_0$ で小球を鉛直上方に投げ上げた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

(1) 小球が最高点に達する時刻 $t_1$ を求めよ。

(2) 小球がビルの屋上に戻ってくる時刻を $t_2$ とすると、$t_2 = 2t_1$ が成り立つことを示せ。

(3) 小球がビルの屋上に戻ってきたときの速度が $-v_0$ になることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 最高点では速度が0になるので、等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用いる。

$v=0, a=-g, t=t_1$ を代入すると、

$0 = v_0 - gt_1$

これを $t_1$ について解くと、

$t_1 = \frac{v_0}{g}$

(2) 時刻 $t$ における小球の位置を $y(t)$ とする。

$y(t)$ は等加速度運動の公式 $y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ で表せるので、

$y(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

小球がビルの屋上に戻ってきたとき、$y(t_2) = 0$ となるので、

$0 = v_0 t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$

$0 = t_2(v_0 - \frac{1}{2}gt_2)$

$t_2 = 0$ または $v_0 - \frac{1}{2}gt_2 = 0$

$t_2=0$ は投げ上げる前の時刻なので、

$v_0 - \frac{1}{2}gt_2 = 0$

$\frac{1}{2}gt_2 = v_0$

$t_2 = \frac{2v_0}{g}$

(1)で求めた $t_1 = \frac{v_0}{g}$ より、

$t_2 = 2t_1$ が成り立つ。

(3) 時刻 $t$ における速度 $v(t)$ は $v(t) = v_0 + at$ で表せるので、

$v(t) = v_0 - gt$

$t = t_2$ のとき、

$v(t_2) = v_0 - gt_2$

(2)で求めた $t_2 = \frac{2v_0}{g}$ より、

$v(t_2) = v_0 - g(\frac{2v_0}{g}) = v_0 - 2v_0 = -v_0$

したがって、小球がビルの屋上に戻ってきたときの速度は $-v_0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $t_1 = \frac{v_0}{g}$

(2) $t_2 = 2t_1$

(3) $-v_0$