ビルの屋上から初速度 $v_0$ で小球を鉛直上方に投げ上げた運動について、以下の問いに答える問題です。 (1) 小球が最高点に達する時刻 $t_1$ を求める。 (2) 小球がビルの屋上に戻ってくる時刻 $t_2$ が $t_2 = 2t_1$ となることを示す。 (3) 小球がビルの屋上に戻ってきたときの速度が $-v_0$ となることを示す。

## 解答

1. 問題の内容

ビルの屋上から初速度 $v_0$ で小球を鉛直上方に投げ上げた運動について、以下の問いに答える問題です。

(1) 小球が最高点に達する時刻 $t_1$ を求める。

(2) 小球がビルの屋上に戻ってくる時刻 $t_2$ が $t_2 = 2t_1$ となることを示す。

(3) 小球がビルの屋上に戻ってきたときの速度が $-v_0$ となることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 最高点に達する時刻 $t_1$ を求める。

鉛直上向きを正とするので、重力加速度は $-g$ となります。

時刻 $t$ における小球の速度 $v(t)$ は、

$v(t) = v_0 - gt$

最高点では速度が0になるので、$v(t_1) = 0$ より

$0 = v_0 - gt_1$

したがって、

$t_1 = \frac{v_0}{g}$

(2) ビルの屋上に戻ってくる時刻 $t_2$ が $t_2 = 2t_1$ となることを示す。

時刻 $t$ における小球の位置 $y(t)$ は、

$y(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

ビルの屋上を原点とするので、屋上に戻ってきたとき、$y(t_2) = 0$ となります。

$0 = v_0 t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$

$0 = t_2 (v_0 - \frac{1}{2}gt_2)$

$t_2 = 0$ は投げ上げる前の時刻なので不適。したがって、

$v_0 - \frac{1}{2}gt_2 = 0$

$\frac{1}{2}gt_2 = v_0$

$t_2 = \frac{2v_0}{g}$

(1) より $t_1 = \frac{v_0}{g}$ なので、

$t_2 = 2t_1$

が成り立ちます。

(3) ビルの屋上に戻ってきたときの速度が $-v_0$ となることを示す。

時刻 $t_2$ における小球の速度 $v(t_2)$ は、

$v(t_2) = v_0 - gt_2$

(2) より $t_2 = \frac{2v_0}{g}$ なので、

$v(t_2) = v_0 - g(\frac{2v_0}{g})$

$v(t_2) = v_0 - 2v_0$

$v(t_2) = -v_0$

したがって、ビルの屋上に戻ってきたときの速度は $-v_0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $t_1 = \frac{v_0}{g}$

(2) $t_2 = 2t_1$ が成り立つ

(3) ビルの屋上に戻ってきたときの速度は $-v_0$