質量 $m [kg]$ のおもりを、軽い糸の両端AとBにつるした。糸ACと鉛直線のなす角が60°、糸BCと鉛直線のなす角が30°のとき、糸ACがおもりを引く力 $T_A [N]$ と、糸BCがおもりを引く力 $T_B [N]$ をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $g [m/s^2]$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m [kg]$ のおもりを、軽い糸の両端AとBにつるした。糸ACと鉛直線のなす角が60°、糸BCと鉛直線のなす角が30°のとき、糸ACがおもりを引く力 $T_A [N]$ と、糸BCがおもりを引く力 $T_B [N]$ をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $g [m/s^2]$ とする。

2. 解き方の手順

おもりにはたらく力を考える。おもりには、重力$mg$、糸ACの張力$T_A$、糸BCの張力$T_B$がはたらく。

おもりは静止しているので、これらの力はつり合っている。力のつり合いを水平方向と鉛直方向で考える。

水平方向のつり合い：

$T_A \sin 60^\circ = T_B \sin 30^\circ$

鉛直方向のつり合い：

$T_A \cos 60^\circ + T_B \cos 30^\circ = mg$

これらの式を解く。まず、水平方向の式から $T_A$ と $T_B$ の関係を求める。

$T_A \frac{\sqrt{3}}{2} = T_B \frac{1}{2}$

$T_A = \frac{1}{\sqrt{3}} T_B$

これを鉛直方向の式に代入する。

$\frac{1}{\sqrt{3}} T_B \cos 60^\circ + T_B \cos 30^\circ = mg$

$\frac{1}{\sqrt{3}} T_B \frac{1}{2} + T_B \frac{\sqrt{3}}{2} = mg$

$T_B (\frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = mg$

$T_B (\frac{1+3}{2\sqrt{3}}) = mg$

$T_B (\frac{4}{2\sqrt{3}}) = mg$

$T_B = \frac{2\sqrt{3}}{4} mg = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$

次に $T_A$ を求める。

$T_A = \frac{1}{\sqrt{3}} T_B = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} mg = \frac{1}{2} mg$

3. 最終的な答え

$T_A = \frac{1}{2} mg [N]$

$T_B = \frac{\sqrt{3}}{2} mg [N]$