マグニチュード $M$ と地震のエネルギー $E$ の関係式 $\log_{10} E = 1.5M + 4.8$ が与えられています。この式を変形した $\log_{10} E - 6.3 = 1.5(M-1)$ が提示されています。問題文の最後に、$E$ が $5.01187 \times 10^{-7}$ 倍になるとき、$M$ が 1 減少するかどうかを問うています。

1. 問題の内容

マグニチュード $M$ と地震のエネルギー $E$ の関係式 $\log_{10} E = 1.5M + 4.8$ が与えられています。この式を変形した $\log_{10} E - 6.3 = 1.5(M-1)$ が提示されています。問題文の最後に、$E$ が $5.01187 \times 10^{-7}$ 倍になるとき、$M$ が 1 減少するかどうかを問うています。

2. 解き方の手順

まず、$\log_{10} E = 1.5M + 4.8$ を変形して $\log_{10} E - 6.3 = 1.5(M-1)$ が得られることを確認します。

$\log_{10} E = 1.5M + 4.8$ を変形します。

$\log_{10} E = 1.5M + 4.8$ より、

$\log_{10} E = 1.5(M-1+1) + 4.8 = 1.5(M-1) + 1.5 + 4.8 = 1.5(M-1) + 6.3$

したがって、

$\log_{10} E - 6.3 = 1.5(M-1)$ が成り立ちます。

次に、$E$ が $5.01187 \times 10^{-7}$ 倍になるときのマグニチュードの変化を計算します。

$E$ が $E'$ に変化し、$M$ が $M'$ に変化したとします。$E' = 5.01187 \times 10^{-7} E$ です。

$\log_{10} E' = 1.5M' + 4.8$

$\log_{10} (5.01187 \times 10^{-7} E) = 1.5M' + 4.8$

$\log_{10} (5.01187 \times 10^{-7}) + \log_{10} E = 1.5M' + 4.8$

$\log_{10} E = 1.5M + 4.8$ を代入します。

$\log_{10} (5.01187 \times 10^{-7}) + 1.5M + 4.8 = 1.5M' + 4.8$

$\log_{10} (5.01187 \times 10^{-7}) = 1.5(M' - M)$

$M' - M = \frac{\log_{10} (5.01187 \times 10^{-7})}{1.5}$

$5.01187 \times 10^{-7} \approx 10^{-6.3}$ なので $\log_{10} (5.01187 \times 10^{-7}) \approx -6.3$

$M' - M = \frac{-6.3}{1.5} = -4.2$

$\log_{10} E - 6.3 = 1.5(M-1)$という式から、$\log_{10}E = 1.5M - 1.5 + 6.3 = 1.5M + 4.8$なので、これは最初の式と同じです。

もし$M$が1減少するならば、$M'=M-1$です。

したがって、$1.5M' + 4.8 = 1.5(M-1) + 4.8 = 1.5M + 4.8 - 1.5$

$\log_{10}E' = \log_{10}E - 1.5$

$E' = 10^{-1.5} E \approx 0.0316E$

$5.01187 \times 10^{-7} E \approx 0.0000005 E$

これはEが$5.01187 \times 10^{-7}$倍になるとき、$M$が1減少するという意味ではありません。

$10^{1.5} \approx 31.6227766$

なので$E$を31.6227766倍すると、$M$は1増えます。

$E$を$1/31.6227766$倍すると、$M$は1減ります。

3. 最終的な答え

$E$ が $5.01187 \times 10^{-7}$ 倍になるとき、$M$ が 1 減少するという記述は正しくありません。正しくは、Eが$10^{-1.5}$倍、つまり約0.0316倍になったときに$M$が1減少します。