地震のマグニチュード $M$ とエネルギー $E$ の関係について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であることを用いて、$\log_{10}E$ を $M$ の式で表します。 (2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるときの $M$ の減少量を求めます。

1. 問題の内容

地震のマグニチュード $M$ とエネルギー $E$ の関係について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であることを用いて、$\log_{10}E$ を $M$ の式で表します。

(2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるときの $M$ の減少量を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

問題文より、$M$ が 2 増えると $E$ が 1000 倍になることがわかります。つまり、$E$ は $10^3$ 倍になります。

したがって、$M$ が 2 増えると $\log_{10}E$ は $\log_{10}1000 = 3$ 増えます。

$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であるから、$M$ が $x$ 増えたとき $\log_{10}E$ は $\frac{3}{2}x$ 増えます。

$\log_{10}E$ を $M$ で表すために、$\log_{10}E = aM + b$ とおきます。

$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ より、

$6.3 = a(1) + b$

$a + b = 6.3$

$M$ が 2 増えると $\log_{10}E$ が 3 増えることから、$a= \frac{3}{2} = 1.5$

$1.5 + b = 6.3$

$b = 6.3 - 1.5 = 4.8$

したがって、$\log_{10}E = 1.5M + 4.8$

(2)

$E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるとき、$\log_{10}E$ は $\log_{10}\frac{1}{10} = -1$ だけ減少します。

(1) で求めた $\log_{10}E = 1.5M + 4.8$ を用いて、$E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になったとき $M$ がどれだけ減少するかを求めます。

$\log_{10}E - 1 = 1.5(M - \Delta M) + 4.8$ とすると、

$1.5M + 4.8 - 1 = 1.5M - 1.5\Delta M + 4.8$

$-1 = -1.5 \Delta M$

$\Delta M = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}E = 1.5M + 4.8$

(2) $\frac{2}{3}$