ベクトル $\vec{a} = (0, 1, 2)$, $\vec{b} = (-3, 0, 1)$, $\vec{c} = (-2, 3, 0)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{p} = (2, 18, 2)$ を $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ の形で表す。つまり、$s, t, u$ の値を求める問題です。

## 問題3

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (0, 1, 2)$, $\vec{b} = (-3, 0, 1)$, $\vec{c} = (-2, 3, 0)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{p} = (2, 18, 2)$ を $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ の形で表す。つまり、$s, t, u$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ を成分で書き下すと、以下のようになります。

$(2, 18, 2) = s(0, 1, 2) + t(-3, 0, 1) + u(-2, 3, 0)$

$(2, 18, 2) = (0, s, 2s) + (-3t, 0, t) + (-2u, 3u, 0)$

$(2, 18, 2) = (-3t - 2u, s + 3u, 2s + t)$

このベクトル方程式は、以下の連立方程式と同値です。

$-3t - 2u = 2$ ...(1)

$s + 3u = 18$ ...(2)

$2s + t = 2$ ...(3)

(2)式より、$s = 18 - 3u$

これを(3)式に代入すると、

$2(18 - 3u) + t = 2$

$36 - 6u + t = 2$

$t = 6u - 34$

これを(1)式に代入すると、

$-3(6u - 34) - 2u = 2$

$-18u + 102 - 2u = 2$

$-20u = -100$

$u = 5$

$u=5$ を (2)式に代入して、$s = 18 - 3(5) = 18 - 15 = 3$

$u=5$ を (3)式を変形した式に代入して、$t = 6(5) - 34 = 30 - 34 = -4$

したがって、$s = 3$, $t = -4$, $u = 5$ となります。

3. 最終的な答え

$\vec{p} = 3\vec{a} - 4\vec{b} + 5\vec{c}$