(1) 電子の運動量を $p=mv$、プランク定数を $h$ としたとき、電子の波長 $\lambda$ との関係式（ド・ブロイの関係式）を求めよ。 (2) 電圧 $V$ で加速された電子の運動エネルギーと、電圧 $V$ によってされる仕事の関係式（エネルギー保存則）を示せ。電気素量を $q$ とする。 (3) 波長0.010 nmの電子線を得るためには、電子を何Vで加速しなければならないか求めよ。電子の質量 $m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$、プランク定数 $h = 6.625 \times 10^{-34} \, \text{J s}$、電気素量 $q = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}$ とする。 (4) 波長0.154 nm の電子線を得るためには電子を何Vで加速する必要があるか求めよ。

1. 問題の内容

(1) 電子の運動量を $p=mv$、プランク定数を $h$ としたとき、電子の波長 $\lambda$ との関係式（ド・ブロイの関係式）を求めよ。

(2) 電圧 $V$ で加速された電子の運動エネルギーと、電圧 $V$ によってされる仕事の関係式（エネルギー保存則）を示せ。電気素量を $q$ とする。

(3) 波長0.010 nmの電子線を得るためには、電子を何Vで加速しなければならないか求めよ。電子の質量 $m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$、プランク定数 $h = 6.625 \times 10^{-34} \, \text{J s}$、電気素量 $q = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}$ とする。

(4) 波長0.154 nm の電子線を得るためには電子を何Vで加速する必要があるか求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ド・ブロイの関係式は、波長 $\lambda$ が運動量 $p$ に反比例し、プランク定数 $h$ を比例定数とする関係です。つまり、

$\lambda = \frac{h}{p}$

$p = mv$ であるので、

$\lambda = \frac{h}{mv}$

(2) 電圧 $V$ で加速された電子が得る運動エネルギー $K$ は、電子が電場から受ける仕事 $qV$ に等しくなります（エネルギー保存則）。したがって、

$K = qV$

(3) 電子の運動エネルギー $K$ は $K = \frac{1}{2}mv^2$ で与えられます。

(2)より $K = qV$ なので、

$\frac{1}{2}mv^2 = qV$

$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$

(1)より $\lambda = \frac{h}{mv}$ なので、

$\lambda = \frac{h}{m \sqrt{\frac{2qV}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$

$V = \frac{h^2}{2mq\lambda^2}$

$\lambda = 0.010 \, \text{nm} = 1.0 \times 10^{-11} \, \text{m}$ を代入すると、

$V = \frac{(6.625 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times (1.0 \times 10^{-11})^2} \approx 15091 \, \text{V}$

(4) $\lambda = 0.154 \, \text{nm} = 1.54 \times 10^{-10} \, \text{m}$ を代入すると、

$V = \frac{h^2}{2mq\lambda^2}$

$V = \frac{(6.625 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times (1.54 \times 10^{-10})^2} \approx 63.3 \, \text{V}$

3. 最終的な答え

(1) $\lambda = \frac{h}{mv}$

(2) $K = qV$

(3) $15091 \, \text{V}$

(4) $63.3 \, \text{V}$