## 問題の解法

## 問題の解法

###

1. 問題の内容

2地点A, Bを結ぶ一本道があり、P君はAからBへ、Q君はBからAへ同時に出発した。P君とQ君はそれぞれ一定の速さで移動し、出発から2時間30分後にBから20kmの地点ですれ違った。P君がBに到着してから3時間45分後にQ君がAに到着した。このとき、A, B間の距離を求める。

###

2. 解き方の手順

まず、時間を分に変換する。

* 2時間30分 = 150分

* 3時間45分 = 225分

A, B間の距離を $x$ km とする。

P君の速さを $v_P$ km/分、Q君の速さを $v_Q$ km/分とする。

すれ違うまでにP君が進んだ距離は $x - 20$ km、Q君が進んだ距離は $20$ km である。

よって、次の式が成り立つ。

$150 v_P = x - 20$

$150 v_Q = 20$

P君がBに到着するまでにかかる時間は $x / v_P$ 分である。

Q君はP君がBに到着する3時間45分前にはすれ違っているので、$x / v_P - 225$ 分ですれ違ったことになる。

よって次の式が成り立つ。

$x / v_P = 150 + 225 = 375$

$x = 375 v_P$

同様に考えると、Q君がAに到着するまでにかかる時間は $x / v_Q$ である。

P君はQ君がAに到着する3時間45分後にはBに到着しているので、$x / v_Q = 150 + \frac{225 \times v_Q}{v_P}$。

しかし、この式は使用しない。

$v_P = x / 375$ を $150 v_P = x - 20$ に代入すると、

$150 (x / 375) = x - 20$

$(2/5) x = x - 20$

$(3/5) x = 20$

$x = (5/3) \times 20 = 100/3$

$v_Q = 20 / 150 = 2/15$

Q君がAに到着するまでにかかる時間は $x / v_Q = (100/3) / (2/15) = (100/3) \times (15/2) = 250$ 分。

P君がBに到着するまでにかかる時間は 375分。

P君がBに到着してから225分後にQ君がAに到着する。

$150 v_P = x - 20$ より $x = 150 v_P + 20$。

$v_P = x / 375$ より $x = 150 (x / 375) + 20$。

$x = (2/5)x + 20$

$(3/5) x = 20$

$x = 100 / 3 = 33.333...$

$150 v_Q = 20$

$v_Q = 20/150 = 2/15$

$x = (150 + 225) v_P = 375 v_P$

$x = t v_Q$

すれ違ったとき、

$t_0 = 150$ 分後

$150 v_P + 150 v_Q = x$

$v_P = (x-20) / 150$

$x = 375 ((x-20) / 150)$

$x = \frac{5}{2}(x-20)$

$2x = 5x - 100$

$3x = 100$

$x = 100/3$

###

3. 最終的な答え

$\frac{100}{3}$ km