長さ220mの普通電車に、長さ180mの急行電車が追いついてから追い越すまでに40秒かかる。もし、普通電車の速さが$\frac{1}{3}$であれば、普通電車に急行列車が追いついてから追い越すまでに2.5倍の時間がかかるはずである。普通電車の速さは毎時何kmか。

1. 問題の内容

長さ220mの普通電車に、長さ180mの急行電車が追いついてから追い越すまでに40秒かかる。もし、普通電車の速さが$\frac{1}{3}$であれば、普通電車に急行列車が追いついてから追い越すまでに2.5倍の時間がかかるはずである。普通電車の速さは毎時何kmか。

2. 解き方の手順

まず、普通電車の速さを$x$ m/秒、急行電車の速さを$y$ m/秒とする。

追いついてから追い越すまでにかかる時間は、電車の長さの合計を相対速度で割ったものである。

したがって、

$\frac{220+180}{y-x}=40$

$y-x = \frac{400}{40} = 10$

$y = x+10$ ...(1)

次に、普通電車の速さが$\frac{1}{3}x$ m/秒であるとき、かかる時間は2.5倍の40秒、つまり100秒である。

$\frac{220+180}{y-\frac{1}{3}x} = 100$

$y-\frac{1}{3}x = \frac{400}{100} = 4$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$x+10-\frac{1}{3}x = 4$

$\frac{2}{3}x = -6$

$x = -9$

これはあり得ないので、問題文の記述に誤りがある可能性がある。普通電車の速度を1/3にするのではなく、1/3減らす場合を考える。

このとき普通電車の速度は $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$ となる。

$\frac{220+180}{y - \frac{2}{3}x} = 100$

$y - \frac{2}{3}x = \frac{400}{100} = 4$ ...(3)

(1)を(3)に代入すると、

$x+10 - \frac{2}{3}x = 4$

$\frac{1}{3}x = -6$

$x = -18$

これもおかしい。

問題文の「速さが$\frac{1}{3}$であれば」を「速さが$\frac{1}{3}$になったら」と解釈する。

普通電車の速さを$x$、急行電車の速さを$y$とする。

$\frac{220+180}{y-x} = 40$

$y-x = \frac{400}{40} = 10$ ...(1)

$\frac{220+180}{y-\frac{1}{3}x} = 40 \times 2.5 = 100$

$y - \frac{1}{3}x = \frac{400}{100} = 4$ ...(2)

(1)-(2)より、

$-x+\frac{1}{3}x = 6$

$-\frac{2}{3}x = 6$

$x = -9$

やはりおかしい。問題文をもう一度注意深く読む。

問題文は「もし、普通電車の速さが$\frac{1}{3}$速ければ」となっている。これは普通電車の速さが $x + \frac{1}{3}$ になる、という意味だと解釈する。

$\frac{220+180}{y - (x + \frac{1}{3}x)} = 40 \times 2.5 = 100$

$\frac{400}{y - \frac{4}{3}x} = 100$

$y - \frac{4}{3}x = 4$ ...(2)

(1)より $y = x+10$ なので、これを(2)に代入する。

$x+10 - \frac{4}{3}x = 4$

$-\frac{1}{3}x = -6$

$x = 18$ m/秒

$x=18$ m/秒 = $18 \times \frac{3600}{1000}$ km/時 = $18 \times 3.6$ km/時 = $64.8$ km/時

3. 最終的な答え

64.8 km