8で割っても10で割っても12で割っても2余る整数のうち、700に最も近い数を求めよ。

1. 問題の内容

8で割っても10で割っても12で割っても2余る整数のうち、700に最も近い数を求めよ。

2. 解き方の手順

求める整数を$x$とする。$x$は、ある整数$n$を用いて、$x = 8a + 2 = 10b + 2 = 12c + 2$と表せる。ただし、$a, b, c$は整数。つまり、$x-2$は8, 10, 12の公倍数である。

8, 10, 12の最小公倍数を求める。

$8 = 2^3$

$10 = 2 \times 5$

$12 = 2^2 \times 3$

最小公倍数は、$2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 15 = 120$

$x-2$は120の倍数なので、$x - 2 = 120k$ (kは整数)と表せる。よって、$x = 120k + 2$

$x$が700に最も近い整数なので、$120k + 2 \approx 700$。

$120k \approx 698$

$k \approx \frac{698}{120} \approx 5.8$

$k=5$のとき、$x = 120 \times 5 + 2 = 600 + 2 = 602$

$k=6$のとき、$x = 120 \times 6 + 2 = 720 + 2 = 722$

$|700 - 602| = 98$

$|700 - 722| = 22$

722の方が700に近い。

3. 最終的な答え

722