2つの2桁の整数AとBがあり、最大公約数が8、最小公倍数が560である。AとBの和を求めよ。

1. 問題の内容

2つの2桁の整数AとBがあり、最大公約数が8、最小公倍数が560である。AとBの和を求めよ。

2. 解き方の手順

AとBの最大公約数が8なので、A = 8a, B = 8bと表すことができる。ここで、aとbは互いに素な整数である。

AとBの最小公倍数は560なので、$8ab = 560$となる。

この式を整理すると、$ab = 560 / 8 = 70$となる。

aとbは互いに素なので、積が70になる整数の組み合わせを考える。

70の約数は1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70である。

互いに素である組み合わせは(1, 70), (2, 35), (5, 14), (7, 10)である。

AとBは2桁の整数なので、A = 8a, B = 8bも2桁の整数である必要がある。

(1, 70): A = 8 * 1 = 8, B = 8 * 70 = 560 (Bが3桁なので不適)

(2, 35): A = 8 * 2 = 16, B = 8 * 35 = 280 (Bが3桁なので不適)

(5, 14): A = 8 * 5 = 40, B = 8 * 14 = 112 (Bが3桁なので不適)

(7, 10): A = 8 * 7 = 56, B = 8 * 10 = 80

よって、A = 56, B = 80である。

AとBの和は、$56 + 80 = 136$となる。

3. 最終的な答え

136