$\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ は全部で何通りあるか求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ は全部で何通りあるか求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

$\sqrt{\frac{540}{n}} = \sqrt{\frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n}}$ が整数となるためには、$\frac{540}{n}$ がある整数の2乗となる必要があります。

$n$ は $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$ の約数でなければなりません。

また、$\frac{540}{n}$ が整数の2乗となるためには、$\frac{540}{n}$ の素因数分解における各素数の指数が偶数である必要があります。

$n = 3 \times 5 \times k^2$ の形である必要があります。（kは整数）

$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{3 \times 5 \times k^2} = \frac{2^2 \times 3^2}{k^2} = (\frac{2 \times 3}{k})^2 = (\frac{6}{k})^2$

よって、$k$ は $6$ の約数である必要があります。

$k = 1, 2, 3, 6$

従って、$n$ は以下のようになります。

$n = 3 \times 5 \times 1^2 = 15$

$n = 3 \times 5 \times 2^2 = 15 \times 4 = 60$

$n = 3 \times 5 \times 3^2 = 15 \times 9 = 135$

$n = 3 \times 5 \times 6^2 = 15 \times 36 = 540$

$\sqrt{\frac{540}{15}} = \sqrt{36} = 6$

$\sqrt{\frac{540}{60}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{\frac{540}{135}} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{\frac{540}{540}} = \sqrt{1} = 1$

したがって、nは 15, 60, 135, 540 の4通りあります。

3. 最終的な答え

4通り