(1) $\sqrt{756n}$ が整数になる最小の自然数 $n$ を求める。 (2) 3数 $12, 120, n$ の最大公約数が4、最小公倍数が600となるような自然数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{756n}$ が整数になる最小の自然数 $n$ を求める。

(2) 3数 $12, 120, n$ の最大公約数が4、最小公倍数が600となるような自然数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{756n}$ が整数になるためには、$756n$ がある整数の2乗になる必要がある。

まず、756を素因数分解する。

$756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$

したがって、$\sqrt{756n} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times 7 \times n}$ となる。

$\sqrt{756n}$ が整数になるためには、$n$ が $3 \times 7 = 21$ を掛ける必要がある。

なぜなら、$2^2 \times 3^4 \times 7^2$ が平方数になるため。

ゆえに、$n = 3 \times 7 = 21$ が最小の自然数である。

(2) 3数 $12, 120, n$ の最大公約数が4、最小公倍数が600である。

$12 = 2^2 \times 3$

$120 = 2^3 \times 3 \times 5$

最大公約数が4なので、$n$ は $2^2$ を因子に持ち、他の素因数は持たないか、持つとしても3, 5以外のものはない。

最小公倍数が600なので、$600 = 2^3 \times 3 \times 5^2$ である。

$n = 2^a \times 3^b \times 5^c$ とおく。

最大公約数が4であることから、$a = 2$ であり、$b=0$ または $b=1$ のどちらかである。同様に、$c=0$ または $c=1$ のどちらかである。

最小公倍数が600であることから、$max(2,3,a) = 3, max(1,1,b) = 1, max(0,1,c) = 2$ である。

したがって、$a=2, b=1, c=2$ となるので、$n = 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300$ である。

$12, 120, 300$ の最大公約数は $2^2 = 4$ であり、最小公倍数は $2^3 \times 3 \times 5^2 = 600$ である。

3. 最終的な答え

(1) $n = 21$

(2) $n = 300$