5進法で1桁（0を含む）から3桁までの整数を作る場合、何通りの数が作れるか。また、その中で最大の数を2進法で表す問題です。

1. 問題の内容

5進法で1桁（0を含む）から3桁までの整数を作る場合、何通りの数が作れるか。また、その中で最大の数を2進法で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、5進数で1桁、2桁、3桁の数がそれぞれ何通りあるかを計算します。

* 1桁の数: 0, 1, 2, 3, 4 の5通り

* 2桁の数: 10から44 (5進数) まで。 5進数では、各桁に0から4までの数字が入ります。2桁の場合、十の位は0以外の4通り(1,2,3,4)で、一の位は0から4の5通りなので、4\*5 = 20通り。

* 3桁の数: 100から444 (5進数) まで。百の位は0以外の4通り(1,2,3,4)で、十の位は0から4の5通り、一の位は0から4の5通りなので、4\*5\*5 = 100通り。

したがって、作れる数の総数は 5 + 20 + 100 = 125 通りです。

次に、5進数で最大の3桁の数である444を10進数に変換します。

$444_5 = 4 \times 5^2 + 4 \times 5^1 + 4 \times 5^0 = 4 \times 25 + 4 \times 5 + 4 \times 1 = 100 + 20 + 4 = 124$

したがって、最大の数は10進数で124です。

最後に、124を2進数に変換します。

124を2で繰り返し割り、余りを記録していきます。

* 124 ÷ 2 = 62 余り 0

* 62 ÷ 2 = 31 余り 0

* 31 ÷ 2 = 15 余り 1

* 15 ÷ 2 = 7 余り 1

* 7 ÷ 2 = 3 余り 1

* 3 ÷ 2 = 1 余り 1

* 1 ÷ 2 = 0 余り 1

余りを逆順に並べると、1111100となります。

したがって、124を2進数で表すと、1111100です。

3. 最終的な答え

作れる数の総数は125通り。

最大の数である$444_5$を2進数で表すと$1111100_2$。