数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = 4a_n - 1$ が与えられており、$a_1 = \frac{8}{9}$ および $a_{n+1} = \frac{10}{11}a_n$ が成り立つとき、$a_n$ を求めよ。与えられた $a_n$ の式は $a_n = \frac{12}{13}^{n-1}$ である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = 4a_n - 1$ が与えられており、$a_1 = \frac{8}{9}$ および $a_{n+1} = \frac{10}{11}a_n$ が成り立つとき、$a_n$ を求めよ。与えられた $a_n$ の式は $a_n = \frac{12}{13}^{n-1}$ である。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、$S_1 = a_1$ なので、$a_1 = 4a_1 - 1$ が成り立つ。

$3a_1 = 1$ より $a_1 = \frac{1}{3}$ となるはずだが、与えられた $a_1 = \frac{8}{9}$ と一致しない。

$S_n = 4a_n - 1$ より、$S_{n+1} = 4a_{n+1} - 1$ である。

$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ なので、$S_n + a_{n+1} = 4a_{n+1} - 1$ となる。

$S_n = 3a_{n+1} - 1$ である。

また、$S_n = 4a_n - 1$ なので、$4a_n - 1 = 3a_{n+1} - 1$。

したがって、$4a_n = 3a_{n+1}$。

$a_{n+1} = \frac{4}{3}a_n$ が成り立つ。

しかし、$a_{n+1} = \frac{10}{11} a_n$ であると与えられているので、これは矛盾する。

問題文の条件に矛盾があるので、与えられた条件で一般項を求めることはできない。ただし、$a_{n+1}=\frac{10}{11}a_n$ という条件から、$a_n$ は等比数列であり、$a_n = a_1(\frac{10}{11})^{n-1}$ となる。$a_1 = \frac{8}{9}$ なので、$a_n = \frac{8}{9}(\frac{10}{11})^{n-1}$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{8}{9}(\frac{10}{11})^{n-1}$

与えられた解答欄に当てはまるように変形することを考える。$a_n=\frac{12}{13}^{n-1}$は与えられた条件を満たしていない。

問題文に誤りがある可能性がある。

しかし、指示に従い、もし $a_n = c \cdot r^{n-1}$ の形に表すことを求められているならば、

$a_n = \frac{8}{9} \cdot (\frac{10}{11})^{n-1}$ となる。

与えられた$a_n$の形に無理やり合わせることは難しい。

設問の意図が不明であるため、ここでは

$a_n = \frac{8}{9}(\frac{10}{11})^{n-1}$ が答えであるとする。