2次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の2つの場合について、指定された数を解とする2次方程式を1つ作成します。 (1) $1-\alpha, 1-\beta$ (2) $\alpha^2, \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の2つの場合について、指定された数を解とする2次方程式を1つ作成します。

(1) $1-\alpha, 1-\beta$

(2) $\alpha^2, \beta^2$

2. 解き方の手順

(1) $1-\alpha, 1-\beta$ を解とする2次方程式について考えます。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 3$ および $\alpha \beta = -1$ が成り立ちます。

求める2次方程式の解の和と積を計算します。

和: $(1-\alpha) + (1-\beta) = 2 - (\alpha + \beta) = 2 - 3 = -1$

積: $(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - (\alpha + \beta) + \alpha \beta = 1 - 3 + (-1) = -3$

よって、解が $1-\alpha, 1-\beta$ である2次方程式の1つは、$x^2 - (和)x + (積) = 0$ より、$x^2 - (-1)x + (-3) = 0$ となります。

(2) $\alpha^2, \beta^2$ を解とする2次方程式について考えます。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 3$ および $\alpha \beta = -1$ が成り立ちます。

求める2次方程式の解の和と積を計算します。

和: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 3^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$

積: $\alpha^2 \beta^2 = (\alpha \beta)^2 = (-1)^2 = 1$

よって、解が $\alpha^2, \beta^2$ である2次方程式の1つは、$x^2 - (和)x + (積) = 0$ より、$x^2 - 11x + 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + x - 3 = 0$

(2) $x^2 - 11x + 1 = 0$