与えられた4つの式を因数分解します。 (1) $x^3 - 1$ (2) $x^3 + 27a^3$ (3) $x^3 - 64$ (4) $125x^3 - 8y^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解します。

(1) $x^3 - 1$

(2) $x^3 + 27a^3$

(3) $x^3 - 64$

(4) $125x^3 - 8y^3$

2. 解き方の手順

これらの式はすべて、$a^3 \pm b^3$の形をしているので、以下の公式を利用して因数分解します。

* $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

* $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

(1) $x^3 - 1 = x^3 - 1^3$

$a = x$, $b = 1$を$a^3 - b^3$の公式に代入します。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

(2) $x^3 + 27a^3 = x^3 + (3a)^3$

$a = x$, $b = 3a$を$a^3 + b^3$の公式に代入します。

$x^3 + 27a^3 = (x + 3a)(x^2 - 3ax + 9a^2)$

(3) $x^3 - 64 = x^3 - 4^3$

$a = x$, $b = 4$を$a^3 - b^3$の公式に代入します。

$x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$

(4) $125x^3 - 8y^3 = (5x)^3 - (2y)^3$

$a = 5x$, $b = 2y$を$a^3 - b^3$の公式に代入します。

$125x^3 - 8y^3 = (5x - 2y)((5x)^2 + (5x)(2y) + (2y)^2)$

$125x^3 - 8y^3 = (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$

(2) $(x + 3a)(x^2 - 3ax + 9a^2)$

(3) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$

(4) $(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$