与えられた2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ と $g(x) = -x^2 + 2ax - 6a + 13$ があります。 (1) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (2) $g(x)$ の最大値が $8$ 以下となるような $a$ の値の範囲を求めます。 (3) 関数 $h(x)$ を $h(x) = \begin{cases} f(x) & (x < 3) \\ g(x) & (x \ge 3) \end{cases}$ と定義します。$a > 3$ のとき、$3 - a \le x \le 6$ における $h(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 (i) $m \ge 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。 (ii) $m \ge 0$ かつ $M \le 8$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ と $g(x) = -x^2 + 2ax - 6a + 13$ があります。

(1) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(2) $g(x)$ の最大値が $8$ 以下となるような $a$ の値の範囲を求めます。

(3) 関数 $h(x)$ を $h(x) = \begin{cases} f(x) & (x < 3) \\ g(x) & (x \ge 3) \end{cases}$ と定義します。$a > 3$ のとき、$3 - a \le x \le 6$ における $h(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

(i) $m \ge 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

(ii) $m \ge 0$ かつ $M \le 8$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の最大値と最小値を求める

$f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ であるから、$f(x)$ は $x = 1$ で最小値 $0$ をとります。

区間 $0 \le x \le 3$ において、$x = 3$ のとき $f(3) = (3 - 1)^2 = 4$ となり、これが最大値です。

(2) $g(x)$ の最大値を求め、$a$ の範囲を定める

$g(x) = -x^2 + 2ax - 6a + 13 = -(x^2 - 2ax) - 6a + 13 = -(x - a)^2 + a^2 - 6a + 13$

$g(x)$ は $x = a$ で最大値 $a^2 - 6a + 13$ をとります。

$a^2 - 6a + 13 \le 8$ を解きます。

$a^2 - 6a + 5 \le 0$

$(a - 1)(a - 5) \le 0$

$1 \le a \le 5$

(3) (i) $m \ge 0$ となる $a$ の範囲を求める

$a > 3$ であることに注意します。

$3 - a \le x \le 6$ において、$h(x)$ の最小値 $m$ を考えます。

$3 - a < 3$ なので、区間 $[3-a, 3)$ では $h(x) = f(x)$ であり、$f(x) = (x - 1)^2$ は $x=1$ で最小値0をとります。

$x = 1$ が区間 $[3-a, 3)$ に含まれる条件は、$3 - a \le 1$ すなわち $a \ge 2$ です。$a > 3$ より、これは常に満たされます。

区間 $[3, 6]$ では $h(x) = g(x) = -(x - a)^2 + a^2 - 6a + 13$ です。

$a > 3$ より、$g(x)$ の軸 $x=a$ は区間 $[3, 6]$ に含まれる可能性があります。

$3 \le a \le 6$ のとき、$g(x)$ は $x = 3$ または $x = 6$ で最小値をとります。

$g(3) = -9 + 6a - 6a + 13 = 4$

$g(6) = -36 + 12a - 6a + 13 = 6a - 23$

$3 \le a \le 6$ かつ $m \ge 0$ なので、$6a - 23 \ge 0$ 、つまり $a \ge \frac{23}{6}$。$3 < \frac{23}{6} < 4$ なので、$a \ge \frac{23}{6}$ を満たす $a$ は $\frac{23}{6} \le a \le 6$

$a > 6$ のとき、$g(x)$ は $x = 6$ で最小値 $6a - 23$ をとります。$6a - 23 \ge 0$ なので $a \ge \frac{23}{6}$。これは常に満たされます。

したがって、$a > 3$ で $m \ge 0$ となる $a$ の範囲は、$a \ge \frac{23}{6}$ です。

(3) (ii) $m \ge 0$ かつ $M \le 8$ となる $a$ の範囲を求める

(i) より、$a \ge \frac{23}{6}$ です。

$3 - a \le x \le 6$ における $h(x)$ の最大値 $M$ を考えます。

$a > 3$ より、$3 - a < 3$。

$h(x)$ は $x < 3$ で $f(x)$、 $x \ge 3$ で $g(x)$ です。

$a > 3$ のとき、$g(x)$ の最大値は $a^2 - 6a + 13$ です。

$f(3) = (3 - 1)^2 = 4$

$3 - a \le x < 3$ における $f(x)$ の最大値は $f(3-a)$ または $f(0)$ であり、$f(3-a) = (3-a-1)^2 = (2-a)^2 = a^2-4a+4$、 $f(0) = 1$ です。

したがって $a > 3$ のとき、$M = \max(a^2 - 6a + 13, 4, a^2-4a+4, 1)$ です。

$a \ge \frac{23}{6}$ かつ $M \le 8$ なので、

$a^2 - 6a + 13 \le 8$

$a^2 - 6a + 5 \le 0$

$(a - 1)(a - 5) \le 0$

$1 \le a \le 5$

$a^2 - 4a + 4 \le 8$

$a^2 - 4a - 4 \le 0$

$2 - 2\sqrt{2} \le a \le 2 + 2\sqrt{2}$

$2 + 2\sqrt{2} \approx 2 + 2(1.41) = 4.82$

$a \ge \frac{23}{6} \approx 3.83$ なので、$3.83 \le a \le 5$ かつ $3.83 \le a \le 4.82$

$3.83 \le a \le 4.82$

したがって、$\frac{23}{6} \le a \le 2+2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $4$, 最小値: $0$

(2) $1 \le a \le 5$

(3) (i) $a \ge \frac{23}{6}$

(3) (ii) $\frac{23}{6} \le a \le 2+2\sqrt{2}$