与えられた6つの2次関数について、グラフの概形を描き、軸と頂点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、グラフの概形を描き、軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

各2次関数について、平方完成を行い、基本形 $y=a(x-p)^2+q$ に変形します。

このとき、軸は $x=p$、頂点は $(p, q)$ となります。

グラフの概形は、$a$ の符号によって下に凸か上に凸かが決まります。

(1) $y=x^2-2x+2$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 2$

$y = (x-1)^2 + 1$

軸: $x=1$

頂点: $(1, 1)$

(2) $y=-x^2+2x+3$

$y = -(x^2 - 2x) + 3$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 3$

$y = -(x-1)^2 + 4$

軸: $x=1$

頂点: $(1, 4)$

(3) $y=-2x^2+6x+3$

$y = -2(x^2 - 3x) + 3$

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + 2 \cdot \frac{9}{4} + 3$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + \frac{6}{2}$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{15}{2}$

軸: $x=\frac{3}{2}$

頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{15}{2})$

(4) $y=\frac{1}{2}x^2+2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) - \frac{1}{2} \cdot 4$

$y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$

軸: $x=-2$

頂点: $(-2, -2)$

(5) $y=(x+2)(x-1)$

$y = x^2 + x - 2$

$y = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 2$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{8}{4}$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

軸: $x=-\frac{1}{2}$

頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

(6) $y=(3x+2)(x-2)$

$y = 3x^2 - 6x + 2x - 4$

$y = 3x^2 - 4x - 4$

$y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x) - 4$

$y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) - 3 \cdot \frac{4}{9} - 4$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} - \frac{12}{3}$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{16}{3}$

軸: $x=\frac{2}{3}$

頂点: $(\frac{2}{3}, -\frac{16}{3})$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x=1$, 頂点: $(1, 1)$

(2) 軸: $x=1$, 頂点: $(1, 4)$

(3) 軸: $x=\frac{3}{2}$, 頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{15}{2})$

(4) 軸: $x=-2$, 頂点: $(-2, -2)$

(5) 軸: $x=-\frac{1}{2}$, 頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

(6) 軸: $x=\frac{2}{3}$, 頂点: $(\frac{2}{3}, -\frac{16}{3})$