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与えられた6つの二次式を平方完成させる問題です。

代数学二次関数平方完成二次式
2025/4/20
はい、承知いたしました。問題文に記載されている6つの二次式を平方完成します。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次式を平方完成させる問題です。

2. 解き方の手順

平方完成は、二次式を a(x−p)2+qa(x-p)^2 + q の形に変形する操作です。
(1) x2−4x+7x^2 - 4x + 7
- x2−4xx^2 - 4x の部分に着目し、(x−2)2(x - 2)^2 を作ります。
- (x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 なので、x2−4x=(x−2)2−4x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 となります。
- よって、x2−4x+7=(x−2)2−4+7=(x−2)2+3x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3 となります。
(2) −2x2−4x−6-2x^2 - 4x - 6
- −2-2 でくくると、−2(x2+2x)−6-2(x^2 + 2x) - 6 となります。
- x2+2xx^2 + 2x の部分に着目し、(x+1)2(x + 1)^2 を作ります。
- (x+1)2=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 なので、x2+2x=(x+1)2−1x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 となります。
- よって、−2(x2+2x)−6=−2((x+1)2−1)−6=−2(x+1)2+2−6=−2(x+1)2−4-2(x^2 + 2x) - 6 = -2((x + 1)^2 - 1) - 6 = -2(x + 1)^2 + 2 - 6 = -2(x + 1)^2 - 4 となります。
(3) 2x2−3x+12x^2 - 3x + 1
- 22 でくくると、2(x2−32x)+12(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 となります。
- x2−32xx^2 - \frac{3}{2}x の部分に着目し、(x−34)2(x - \frac{3}{4})^2 を作ります。
- (x−34)2=x2−32x+916(x - \frac{3}{4})^2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} なので、x2−32x=(x−34)2−916x^2 - \frac{3}{2}x = (x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16} となります。
- よって、2(x2−32x)+1=2((x−34)2−916)+1=2(x−34)2−98+1=2(x−34)2−182(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8} となります。
(4) 13x2−43x+73\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}
- 13\frac{1}{3} でくくると、13(x2−4x)+73\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} となります。
- x2−4xx^2 - 4x の部分に着目し、(x−2)2(x - 2)^2 を作ります。
- (x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 なので、x2−4x=(x−2)2−4x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 となります。
- よって、13(x2−4x)+73=13((x−2)2−4)+73=13(x−2)2−43+73=13(x−2)2+1\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}((x - 2)^2 - 4) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 1 となります。
(5) (x+1)(x−3)(x + 1)(x - 3)
- まず展開します。(x+1)(x−3)=x2−3x+x−3=x2−2x−3(x + 1)(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3
- x2−2xx^2 - 2x の部分に着目し、(x−1)2(x - 1)^2 を作ります。
- (x−1)2=x2−2x+1(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 なので、x2−2x=(x−1)2−1x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 となります。
- よって、x2−2x−3=(x−1)2−1−3=(x−1)2−4x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 1 - 3 = (x - 1)^2 - 4 となります。
(6) (2x+1)(3−x)(2x + 1)(3 - x)
- まず展開します。(2x+1)(3−x)=6x−2x2+3−x=−2x2+5x+3(2x + 1)(3 - x) = 6x - 2x^2 + 3 - x = -2x^2 + 5x + 3
- −2-2 でくくると、−2(x2−52x)+3-2(x^2 - \frac{5}{2}x) + 3 となります。
- x2−52xx^2 - \frac{5}{2}x の部分に着目し、(x−54)2(x - \frac{5}{4})^2 を作ります。
- (x−54)2=x2−52x+2516(x - \frac{5}{4})^2 = x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} なので、x2−52x=(x−54)2−2516x^2 - \frac{5}{2}x = (x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16} となります。
- よって、−2(x2−52x)+3=−2((x−54)2−2516)+3=−2(x−54)2+258+3=−2(x−54)2+498-2(x^2 - \frac{5}{2}x) + 3 = -2((x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}) + 3 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} + 3 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{49}{8} となります。

3. 最終的な答え

(1) (x−2)2+3(x - 2)^2 + 3
(2) −2(x+1)2−4-2(x + 1)^2 - 4
(3) 2(x−34)2−182(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}
(4) 13(x−2)2+1\frac{1}{3}(x - 2)^2 + 1
(5) (x−1)2−4(x - 1)^2 - 4
(6) −2(x−54)2+498-2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{49}{8}

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