X, Y, Z の3人がサイコロを1回ずつ振りました。XとYの目の和はZの目と等しく、YとZの目の和はXの目の4倍です。このとき、3人が出した目の和を求めます。

1. 問題の内容

X, Y, Z の3人がサイコロを1回ずつ振りました。XとYの目の和はZの目と等しく、YとZの目の和はXの目の4倍です。このとき、3人が出した目の和を求めます。

2. 解き方の手順

X, Y, Z がそれぞれ出した目を $x, y, z$ とします。問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$x + y = z$ (1)

$y + z = 4x$ (2)

(2)式に(1)式を代入して、$z$を消去します。

$y + (x + y) = 4x$

$x + 2y = 4x$

$2y = 3x$

$y = \frac{3}{2}x$ (3)

(3)式を(1)式に代入して、$y$を消去します。

$x + \frac{3}{2}x = z$

$\frac{5}{2}x = z$ (4)

3人の目の和は $x + y + z$ です。これに(3)式と(4)式を代入して、$y$と$z$を消去します。

$x + y + z = x + \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}x$

$= x + \frac{8}{2}x$

$= x + 4x$

$= 5x$

ここで、$x, y, z$ はサイコロの目なので、1以上6以下の整数です。

$y = \frac{3}{2}x$ より、$x$ は偶数でなければなりません。

$z = \frac{5}{2}x$ より、$x$ は偶数でなければなりません。

したがって、$x$ は 2, 4, 6 のいずれかです。

- $x = 2$ のとき、$y = \frac{3}{2} \times 2 = 3$、$z = \frac{5}{2} \times 2 = 5$。このとき、$x, y, z$ は全て1以上6以下の整数なので、条件を満たします。

3人の目の和は、$5x = 5 \times 2 = 10$ となります。

- $x = 4$ のとき、$y = \frac{3}{2} \times 4 = 6$、$z = \frac{5}{2} \times 4 = 10$。$z$ が 6 より大きいので不適です。

- $x = 6$ のとき、$y = \frac{3}{2} \times 6 = 9$、$z = \frac{5}{2} \times 6 = 15$。$y, z$ が 6 より大きいので不適です。

したがって、$x = 2, y = 3, z = 5$ のときのみ条件を満たし、3人の目の和は10となります。

3. 最終的な答え

10