問題は、以下の2つの部分から構成されています。 (1) $x = -1 + \sqrt{2}i$ のとき、$x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示しなさい。 (2) (1)の結果を用いて、$x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 4x + 7$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの部分から構成されています。

(1) $x = -1 + \sqrt{2}i$ のとき、$x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示しなさい。

(2) (1)の結果を用いて、$x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 4x + 7$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $x = -1 + \sqrt{2}i$ を $x^2 + 2x + 3$ に代入して計算し、結果が0になることを示す。

$x^2 = (-1 + \sqrt{2}i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(\sqrt{2}i) + (\sqrt{2}i)^2 = 1 - 2\sqrt{2}i - 2 = -1 - 2\sqrt{2}i$

$2x = 2(-1 + \sqrt{2}i) = -2 + 2\sqrt{2}i$

$x^2 + 2x + 3 = (-1 - 2\sqrt{2}i) + (-2 + 2\sqrt{2}i) + 3 = -1 - 2 - 2\sqrt{2}i + 2\sqrt{2}i + 3 = 0$

したがって、$x^2 + 2x + 3 = 0$ であることが示された。

(2) (1)で示された $x^2 + 2x + 3 = 0$ を利用して、$x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 4x + 7$ の値を求める。

$x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 4x + 7$ を $x^2 + 2x + 3$ で割ると、

$x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 4x + 7 = (x^2 + 4x - 3)(x^2 + 2x + 3) + 16$

$x^2 + 2x + 3 = 0$ なので、

$x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 4x + 7 = (x^2 + 4x - 3) * 0 + 16 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ である。

(2) $x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 4x + 7 = 16$