問題は、$x^6 + 1$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、$x^6 + 1$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、$x^6$ を $(x^2)^3$ あるいは $(x^3)^2$ と見なします。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ という公式を利用することを考えます。

$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3$ と書き換えられます。

このとき、$a = x^2$、$b = 1$ となります。

したがって、

$x^6 + 1 = (x^2 + 1)((x^2)^2 - x^2 \cdot 1 + 1^2) = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$

次に、$x^4 - x^2 + 1$ を因数分解することを考えます。

$x^4 - x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ という公式を利用すると、

$(x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2 = (x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$

したがって、

$x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$ となります。

別解として、$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2+1)(x^4 - x^2 + 1)$ という分解の後で、次のように式変形することを考えます。

$x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2 = (x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$

さらに、$x^6+1$ を $x^6 - (-1)$ と見て、 $x^6 - a^6$ のように因数分解することも考えられます。$a = -1$ とすると、$x^6 + 1$ は $x^6 - (-1)$ となります。

$x^6+1=(x^2)^3 + 1^3 = (x^2+1)(x^4 -x^2 + 1) = (x^2+1)(x^4 + 2x^2 + 1 - 3x^2) = (x^2+1)((x^2+1)^2 - (\sqrt{3}x)^2)$

$=(x^2+1)(x^2+1 - \sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x) = (x^2+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)$

また、$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1) = (x^2+1)(x^4+2x^2+1 - 3x^2) = (x^2+1)((x^2+1)^2 - (\sqrt{3}x)^2) = (x^2+1)(x^2+1+\sqrt{3}x)(x^2+1-\sqrt{3}x) = (x^2+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$