定数 $c$ が $2 \le c \le 3$ を満たすとき、2次関数 $y=x^2$ のグラフを2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。 グラフ $G$ をもつ2次関数を $c$ を用いて表し、$y=x^2 - 2(c+\text{ア})x + c(c+\text{イ})$ とする。 さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\text{ウ} + \sqrt{\text{エ}}$、$y$ 軸方向に $\text{オカ}$ だけ平行移動したものとなる。 空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

定数 $c$ が $2 \le c \le 3$ を満たすとき、2次関数 $y=x^2$ のグラフを2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。

グラフ $G$ をもつ2次関数を $c$ を用いて表し、$y=x^2 - 2(c+\text{ア})x + c(c+\text{イ})$ とする。

さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\text{ウ} + \sqrt{\text{エ}}$、$y$ 軸方向に $\text{オカ}$ だけ平行移動したものとなる。

空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

グラフ $G$ は $x$ 切片が $c$ と $c+4$ なので、

$y = (x-c)(x-(c+4)) = x^2 - (c + c+4)x + c(c+4) = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$

よって、アは2、イは4である。

$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$ は $(3, -1)$ を通るので、

$-1 = 3^2 - 2(c+2)(3) + c(c+4) = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c = c^2 - 2c - 3$

$c^2 - 2c - 2 = 0$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$2 \le c \le 3$ なので、$c = 1 + \sqrt{3}$

$y = x^2 - 2(1+\sqrt{3}+2)x + (1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}+4) = x^2 - 2(3+\sqrt{3})x + (1+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})$

$y = x^2 - 2(3+\sqrt{3})x + 5 + \sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 3 = x^2 - 2(3+\sqrt{3})x + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - (3+\sqrt{3})^2 + 8 + 6\sqrt{3} = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - (9 + 6\sqrt{3} + 3) + 8 + 6\sqrt{3} = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - 12 - 6\sqrt{3} + 8 + 6\sqrt{3} = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - 4$

頂点は $(3+\sqrt{3}, -4)$ なので、グラフ $y=x^2$ を $x$ 軸方向に $3+\sqrt{3}$、$y$ 軸方向に $-4$ 平行移動したもの。

よって、ウは3、エは3、オカは-4である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オカ: -4