$\displaystyle (\log_3 x)^2 + 5\log_3 x - 6 < 0$ の解が、$14 < x < 15$ であるかどうかを判断し、正しい不等号の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\displaystyle (\log_3 x)^2 + 5\log_3 x - 6 < 0$ の解が、$14 < x < 15$ であるかどうかを判断し、正しい不等号の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_3 x = t$ とおくと、不等式は次のようになります。

$$t^2 + 5t - 6 < 0$$

この2次不等式を解きます。左辺を因数分解すると、

$$(t + 6)(t - 1) < 0$$

したがって、$t$ の範囲は次のようになります。

$$-6 < t < 1$$

ここで、$t = \log_3 x$ なので、

$$-6 < \log_3 x < 1$$

底が3である指数関数は単調増加なので、各辺を3の指数として適用すると、

$$3^{-6} < x < 3^1$$

$$\frac{1}{3^6} < x < 3$$

$$\frac{1}{729} < x < 3$$

問題文には $14 < x < 15$ とありますが、正しくは $\frac{1}{729} < x < 3$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{729} < x < 3$