不等式 $(\log_3 x)^2 + 5\log_3 x - 6 < 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $(\log_3 x)^2 + 5\log_3 x - 6 < 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \log_3 x$ と置換します。

すると、与えられた不等式は

$t^2 + 5t - 6 < 0$

と書き換えられます。

この2次不等式を解きます。

$t^2 + 5t - 6 = (t+6)(t-1) < 0$

したがって、$-6 < t < 1$ となります。

次に、$t$ を $\log_3 x$ に戻します。

$-6 < \log_3 x < 1$

底が3である指数関数は単調増加なので、

$3^{-6} < x < 3^1$

$3^{-6} = \frac{1}{3^6} = \frac{1}{729}$

したがって、$\frac{1}{729} < x < 3$ となります。

真数条件より、$x > 0$ である必要がありますが、$\frac{1}{729} < x < 3$ はこの条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{729} < x < 3$