(1) $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して、$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$ を導く。 (2) (1)で求めた式で、$b$ を $-b$ におきかえて、$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$ を導く。

1. 問題の内容

(1) $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して、$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$ を導く。

(2) (1)で求めた式で、$b$ を $-b$ におきかえて、$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$ を導く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を $(a+b)^3$ であることを示す。

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)$

$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$

$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

よって、$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$

(2)

(1)の結果 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$ で $b$ を $-b$ に置き換える。

$a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = (a + (-b))^3$

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$

(2) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$