実数を係数とする2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2+3k-10) = 0$ が与えられたときに、以下の条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求めます。 (1) 正の解と負の解をもつ。 (2) 異なる2つの正の解をもつ。 (3) すべての解が-2より小さい。

1. 問題の内容

実数を係数とする2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2+3k-10) = 0$ が与えられたときに、以下の条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求めます。

(1) 正の解と負の解をもつ。

(2) 異なる2つの正の解をもつ。

(3) すべての解が-2より小さい。

2. 解き方の手順

(1) 正の解と負の解をもつ場合

2次方程式が正の解と負の解をもつためには、解と係数の関係より、解の積が負であれば良い。解の積は $2(k^2+3k-10)$ であるから、

$2(k^2+3k-10) < 0$

$k^2+3k-10 < 0$

$(k+5)(k-2) < 0$

したがって、 $-5 < k < 2$

(2) 異なる2つの正の解をもつ場合

異なる2つの正の解をもつためには、判別式 $D > 0$、解の和 $> 0$、解の積 $> 0$ が必要です。

判別式 $D$ について：

$D/4 = (k+1)^2 - 2(k^2+3k-10) = k^2+2k+1 - 2k^2 - 6k + 20 = -k^2 - 4k + 21 > 0$

$k^2 + 4k - 21 < 0$

$(k+7)(k-3) < 0$

$-7 < k < 3$

解の和について：

$2(k+1) > 0$

$k+1 > 0$

$k > -1$

解の積について：

$2(k^2+3k-10) > 0$

$k^2+3k-10 > 0$

$(k+5)(k-2) > 0$

$k < -5$ または $k > 2$

これらの条件をすべて満たす $k$ の範囲は、$2 < k < 3$

(3) すべての解が-2より小さい場合

$f(x) = x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2+3k-10)$ とおくと、

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 < -2

(iii) $f(-2) > 0$

(i) 判別式 $D > 0$ については、(2)より、$-7 < k < 3$

(ii) 軸について：

軸は $x = k+1$ なので、 $k+1 < -2$ より $k < -3$

(iii) $f(-2) > 0$ について：

$f(-2) = (-2)^2 - 2(k+1)(-2) + 2(k^2+3k-10) = 4 + 4(k+1) + 2(k^2+3k-10) = 4 + 4k + 4 + 2k^2 + 6k - 20 = 2k^2 + 10k - 12 > 0$

$k^2 + 5k - 6 > 0$

$(k+6)(k-1) > 0$

$k < -6$ または $k > 1$

これらの条件をすべて満たす $k$ の範囲は、$-7 < k < -6$

3. 最終的な答え

(1) $-5 < k < 2$

(2) $2 < k < 3$

(3) $-7 < k < -6$