複素数 $\alpha$, $\beta$ についての等式 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ を考える。 (1) $|\alpha| = 1$, $|\beta| = 1$ のとき、この等式が成立することを示す。 (2) この等式を満たす $\alpha$, $\beta$ については、$\alpha + \beta = 0$、または $|\alpha\beta| = 1$ となることを示す。 (3) 極形式で $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表されているとき、この等式を満たす $\beta$ を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$, $\beta$ についての等式 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ を考える。

(1) $|\alpha| = 1$, $|\beta| = 1$ のとき、この等式が成立することを示す。

(2) この等式を満たす $\alpha$, $\beta$ については、$\alpha + \beta = 0$、または $|\alpha\beta| = 1$ となることを示す。

(3) 極形式で $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表されているとき、この等式を満たす $\beta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha| = 1$ かつ $|\beta| = 1$ のとき、$\alpha\overline{\alpha} = 1$ かつ $\beta\overline{\beta} = 1$ が成り立つ。よって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ かつ $\overline{\beta} = \frac{1}{\beta}$ が成り立つ。

したがって、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ が成立する。

(2) 与えられた等式 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ を変形する。

両辺に $\alpha\beta$ を掛けると、

$\beta + \alpha = \alpha\beta(\overline{\alpha} + \overline{\beta})$

$\alpha + \beta = \alpha\beta\overline{\alpha} + \alpha\beta\overline{\beta}$

$\alpha + \beta = \beta(\alpha\overline{\alpha}) + \alpha(\beta\overline{\beta})$

ここで、$\overline{\alpha\beta} = \overline{\alpha}\overline{\beta}$を利用する。

$\overline{\alpha\beta} = \frac{1}{\alpha} \frac{1}{\beta}$より $\alpha\beta \overline{\alpha\beta} = (\alpha\beta) (\frac{1}{\alpha\beta}) = 1$

つまり $|\alpha\beta|^2=1$ であり、$|\alpha\beta| \geq 0$ より $|\alpha\beta| = 1$ が成り立つ。

$\alpha + \beta = \alpha\beta\overline{\alpha} + \alpha\beta\overline{\beta}$ を $\alpha + \beta = \alpha\beta (\overline{\alpha} + \overline{\beta})$ と変形する。

$\alpha + \beta = \alpha\beta (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta})$

$\alpha + \beta = \alpha\beta \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$

$\alpha + \beta = (\alpha + \beta) \frac{\alpha\overline{\alpha} \beta\overline{\beta}}{\alpha \overline{\alpha}}$

ここで$\alpha + \beta = 0$ または $\alpha + \beta \neq 0$ に場合分けをする。

もし $\alpha + \beta = 0$ であれば、題意は示された。

$\alpha + \beta \neq 0$ であるならば,

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ の両辺に$(\alpha + \beta)$ を掛けると

$\frac{\alpha + \beta}{\alpha} + \frac{\alpha + \beta}{\beta} = (\alpha + \beta)(\overline{\alpha} + \overline{\beta})$

$\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$

$\alpha + \beta = \alpha\beta \overline{\alpha\beta}$ したがって $|\alpha\beta|=1$ が成立する

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ に $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ を代入する。

$\frac{1}{r(\cos\theta + i\sin\theta)} + \frac{1}{\beta} = r(\cos\theta - i\sin\theta) + \overline{\beta}$

$\frac{\cos\theta - i\sin\theta}{r} + \frac{1}{\beta} = r(\cos\theta - i\sin\theta) + \overline{\beta}$

$\frac{1}{\beta} - \overline{\beta} = r(\cos\theta - i\sin\theta) - \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta)$

$\frac{1}{\beta} - \overline{\beta} = (r - \frac{1}{r})(\cos\theta - i\sin\theta)$

$\beta = x + iy$ とすると $\frac{1}{x+iy} - (x-iy) = (r - \frac{1}{r})(\cos\theta - i\sin\theta)$

$\frac{x-iy}{x^2+y^2} - x+iy = (r - \frac{1}{r})(\cos\theta - i\sin\theta)$

$\frac{x}{x^2+y^2}-x + i(-\frac{y}{x^2+y^2} + y) = (r - \frac{1}{r})(\cos\theta - i\sin\theta)$

実部と虚部を比較すると

$\frac{x}{x^2+y^2}-x = (r - \frac{1}{r})\cos\theta$

$-\frac{y}{x^2+y^2} + y = -(r - \frac{1}{r})\sin\theta$

したがって、

$x(1 - (x^2 + y^2)) = (r - \frac{1}{r})(x^2 + y^2)\cos\theta$

$y(-1 + (x^2 + y^2)) = -(r - \frac{1}{r})(x^2 + y^2)\sin\theta$

$x((x^2 + y^2) - 1) = -(r - \frac{1}{r})(x^2 + y^2)\cos\theta$

$x^2+y^2 = |\beta|^2$. したがって

$x(1 - |\beta|^2) = -(r-\frac{1}{r})|\beta|^2\cos\theta$

$y(|\beta|^2 - 1) = -(r - \frac{1}{r})|\beta|^2 \sin\theta$

$\beta = 0$ である場合、$\frac{1}{\beta}$ は定義できないので、$\beta \neq 0$。

$1 - |\beta|^2 \neq 0$ と仮定する。

$x = \frac{(r - \frac{1}{r})|\beta|^2\cos\theta}{|\beta|^2 - 1}$

$y = \frac{-(r - \frac{1}{r})|\beta|^2\sin\theta}{|\beta|^2 - 1}$

$\beta = \frac{(r - \frac{1}{r})|\beta|^2\cos\theta}{|\beta|^2 - 1} + i\frac{-(r - \frac{1}{r})|\beta|^2\sin\theta}{|\beta|^2 - 1}$

3. 最終的な答え

(1) 等式は成立する。

(2) $\alpha + \beta = 0$ または $|\alpha\beta| = 1$

(3) $\beta = \frac{(r - \frac{1}{r})|\beta|^2\cos\theta}{|\beta|^2 - 1} - i\frac{(r - \frac{1}{r})|\beta|^2\sin\theta}{|\beta|^2 - 1}$, $|\beta| \neq 1$。

または $\beta = -r(\cos\theta + i\sin\theta)$, $|\beta| = 1$.