次の方程式を解きます。 (1) $8x^3 - 1 = 0$ (2) $2x^4 + x^2 - 6 = 0$ (3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$ (4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

はい、承知いたしました。与えられた4つの方程式を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $8x^3 - 1 = 0$

(2) $2x^4 + x^2 - 6 = 0$

(3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$

(4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $8x^3 - 1 = 0$

これは $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の因数分解を利用します。

$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = 0$

したがって、$2x - 1 = 0$ または $4x^2 + 2x + 1 = 0$ となります。

$2x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

$4x^2 + 2x + 1 = 0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{8} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4}$

よって、$x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{4}$

(2) $2x^4 + x^2 - 6 = 0$

$x^2 = t$ とおくと、$2t^2 + t - 6 = 0$ となります。

$(2t - 3)(t + 2) = 0$

$t = \frac{3}{2}, -2$

$x^2 = \frac{3}{2}$ より $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$x^2 = -2$ より $x = \pm i\sqrt{2}$

よって、$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$

(3) $x(x+1)(x+2) = 2 \cdot 3 \cdot 4$

$x(x+1)(x+2) = 24$

$x(x^2 + 3x + 2) = 24$

$x^3 + 3x^2 + 2x - 24 = 0$

$x = 2$ を代入すると、$2^3 + 3(2^2) + 2(2) - 24 = 8 + 12 + 4 - 24 = 0$ なので、$x-2$を因数に持つことがわかります。

$(x - 2)(x^2 + 5x + 12) = 0$

$x = 2$ または $x^2 + 5x + 12 = 0$

$x^2 + 5x + 12 = 0$ の解は、解の公式より、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(12)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{23}}{2}$

よって、$x = 2, \frac{-5 + i\sqrt{23}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{23}}{2}$

(4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

$x^2 - x = t$ とおくと、$t^2 - 8t + 12 = 0$

$(t - 2)(t - 6) = 0$

$t = 2, 6$

$x^2 - x = 2$ より $x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$x^2 - x = 6$ より $x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

よって、$x = 2, -1, 3, -2$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{4}$

(2) $x = \frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$

(3) $x = 2, \frac{-5 + i\sqrt{23}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{23}}{2}$

(4) $x = 2, -1, 3, -2$