$a, b$ は実数であるとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 5 = 0$ が $2+i$ を解に持つ。定数 $a, b$ の値と、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数であるとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 5 = 0$ が $2+i$ を解に持つ。定数 $a, b$ の値と、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2+i$ が解なので、共役複素数である $2-i$ も解である。

(2) 3次方程式の解を $\alpha, 2+i, 2-i$ とおくと、解と係数の関係より、

$\alpha + (2+i) + (2-i) = -a$

$\alpha(2+i) + \alpha(2-i) + (2+i)(2-i) = b$

$\alpha(2+i)(2-i) = -5$

(3) 上記の式を整理する。

$\alpha + 4 = -a$

$2\alpha + i\alpha + 2\alpha - i\alpha + 4 + 1 = b$

$5\alpha = -5$

(4) $5\alpha = -5$ より $\alpha = -1$ である。

(5) $\alpha = -1$ を $\alpha + 4 = -a$ に代入すると、$-1 + 4 = -a$ より $a = -3$ である。

(6) $\alpha = -1$ を $2\alpha + i\alpha + 2\alpha - i\alpha + 4 + 1 = b$ に代入すると、$4\alpha + 5 = b$ より $b = 4(-1) + 5 = 1$ である。

(7) よって、$a = -3, b = 1$ であり、他の解は $\alpha = -1, 2-i$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 1$

他の解は $-1$ と $2-i$