整式 $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を以下の整式で割ったときの商と余りを求める問題です。 (1) $x+1$ (2) $x^2+2x+1$ (3) $2x^3+1$

1. 問題の内容

整式 $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を以下の整式で割ったときの商と余りを求める問題です。

(1) $x+1$

(2) $x^2+2x+1$

(3) $2x^3+1$

2. 解き方の手順

多項式の割り算を実行します。

(1) $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を $x+1$ で割る。

筆算または組み立て除法を使用します。ここでは組み立て除法を使用します。

$x+1 = 0$ より $x=-1$。

```

| 6 5 -7 2 -1

-1 | -6 1 6 -8

|----------------------

6 -1 -6 8 -9

```

商は $6x^3 - x^2 - 6x + 8$、余りは $-9$。

(2) $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を $x^2+2x+1$ で割る。

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$ であるので、まず(1)で求めた商を$x+1$で割ります。

```

| 6 -1 -6 8

-1 | -6 7 -1

|----------------

6 -7 1 7

```

よって、$6x^3 - x^2 - 6x + 8 = (x+1)(6x^2 - 7x + 1) + 7$

したがって

$6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1 = (x+1)(6x^3 - x^2 - 6x + 8) - 9 = (x+1)((x+1)(6x^2 - 7x + 1) + 7) - 9 = (x+1)^2(6x^2-7x+1)+7(x+1)-9 = (x^2+2x+1)(6x^2-7x+1) + 7x + 7 - 9 = (x^2+2x+1)(6x^2-7x+1) + 7x - 2$.

商は $6x^2 - 7x + 1$、余りは $7x - 2$。

(3) $6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ を $2x^3+1$ で割る。

筆算による多項式の割り算を行います。

$6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1 = (2x^3+1)(3x) + 5x^3 - 7x^2 - x - 1 = (2x^3+1)(3x+\frac{5}{2}) -7x^2 - \frac{7}{2}x - \frac{7}{2}$.

商は $3x + \frac{5}{2}$、余りは $-7x^2 - \frac{7}{2}x - \frac{7}{2}$

多項式の除算を行うと、

```

3x + 5/2

2x^3+1 | 6x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x - 1

-(6x^4 +3x)

---------------------

5x^3 - 7x^2 - x - 1

-(5x^3 + 5/2)

---------------------

-7x^2 - x - 7/2

```

商は $3x + \frac{5}{2}$、余りは $-7x^2 - x - \frac{7}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 商: $6x^3 - x^2 - 6x + 8$, 余り: $-9$

(2) 商: $6x^2 - 7x + 1$, 余り: $7x - 2$

(3) 商: $3x + \frac{5}{2}$, 余り: $-7x^2 - x - \frac{7}{2}$