整式 $ax^3 + bx^2 - 2$ が、整式 $(x+1)^2$ で割り切れるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $ax^3 + bx^2 - 2$ が、整式 $(x+1)^2$ で割り切れるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

整式 $ax^3 + bx^2 - 2$ が $(x+1)^2$ で割り切れるということは、$ax^3 + bx^2 - 2 = (x+1)^2(cx+d)$ と表せることを意味します。ここで、$cx+d$ は商を表しています。

まず、$x=-1$ を代入すると、

$a(-1)^3 + b(-1)^2 - 2 = 0$

$-a + b - 2 = 0$

$b = a + 2$ ...(1)

次に、$ax^3 + bx^2 - 2 = (x^2 + 2x + 1)(cx + d)$ と展開できるはずです。最高次の項の係数から、$c=a$であることが分かります。したがって、

$ax^3 + bx^2 - 2 = (x^2 + 2x + 1)(ax + d)$

$ax^3 + bx^2 - 2 = ax^3 + (2a+d)x^2 + (a+2d)x + d$

係数を比較すると、以下のようになります。

$b = 2a+d$ ...(2)

$a+2d = 0$ ...(3)

$d = -2$ ...(4)

(3)式より、$a = -2d$ なので、$a = -2(-2) = 4$

(1)式より、$b = a + 2 = 4+2 = 6$

(2)式より、$b = 2a+d = 2(4)+(-2) = 8-2 = 6$

よって、$a=4$, $b=6$

3. 最終的な答え

$a=4$, $b=6$