(7) 連立方程式 $\begin{cases} x+y=1 \\ x^2 + y^2 = -2 \end{cases}$ を解く。 (8) 二次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha - \beta^2, \beta - \alpha^2$ を解にもつ二次方程式を1つ作る。 (9) $k$ を定数とする。二次方程式 $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ において、2解の差が4となるときの $k$ の値を求め、そのときの二次方程式の2解を求める。

1. 問題の内容

(7) 連立方程式 $\begin{cases} x+y=1 \\ x^2 + y^2 = -2 \end{cases}$ を解く。

(8) 二次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha - \beta^2, \beta - \alpha^2$ を解にもつ二次方程式を1つ作る。

(9) $k$ を定数とする。二次方程式 $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ において、2解の差が4となるときの $k$ の値を求め、そのときの二次方程式の2解を求める。

2. 解き方の手順

(7)

$x+y=1$ より $y = 1-x$

$x^2 + y^2 = -2$ に代入して、$x^2 + (1-x)^2 = -2$

$x^2 + 1 - 2x + x^2 = -2$

$2x^2 - 2x + 3 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(3)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{1 + i\sqrt{5}}{2}$ のとき、$y = 1 - \frac{1 + i\sqrt{5}}{2} = \frac{1 - i\sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{1 - i\sqrt{5}}{2}$ のとき、$y = 1 - \frac{1 - i\sqrt{5}}{2} = \frac{1 + i\sqrt{5}}{2}$

(8)

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 4, \alpha \beta = 1$

$\alpha - \beta^2$ と $\beta - \alpha^2$ の和は $(\alpha + \beta) - (\alpha^2 + \beta^2) = (\alpha + \beta) - ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta) = 4 - (4^2 - 2(1)) = 4 - (16 - 2) = 4 - 14 = -10$

$\alpha - \beta^2$ と $\beta - \alpha^2$ の積は $(\alpha - \beta^2)(\beta - \alpha^2) = \alpha\beta - \alpha^3 - \beta^3 + \alpha^2 \beta^2 = \alpha\beta - (\alpha^3 + \beta^3) + (\alpha\beta)^2$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = 4(4^2 - 3(1)) = 4(16-3) = 4(13) = 52$

$(\alpha - \beta^2)(\beta - \alpha^2) = 1 - 52 + 1^2 = -50$

解と係数の関係より、$x^2 + 10x - 50 = 0$

(9)

$x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ の2解を $\gamma, \delta$ とする。

解と係数の関係より、$\gamma + \delta = -2k, \gamma \delta = k + 2$

条件より、$\gamma - \delta = 4$

$(\gamma - \delta)^2 = (\gamma + \delta)^2 - 4\gamma\delta = 4$

$(-2k)^2 - 4(k+2) = 16$

$4k^2 - 4k - 8 = 16$

$4k^2 - 4k - 24 = 0$

$k^2 - k - 6 = 0$

$(k-3)(k+2) = 0$

$k = 3, -2$

$k = 3$ のとき、$x^2 + 6x + 5 = 0$

$(x+1)(x+5) = 0$

$x = -1, -5$

解の差は $|-1 - (-5)| = 4$ で条件を満たす。

$k = -2$ のとき、$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

解の差は $|0 - 4| = 4$ で条件を満たす。

3. 最終的な答え

(7) $x = \frac{1 + i\sqrt{5}}{2}, y = \frac{1 - i\sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{1 - i\sqrt{5}}{2}, y = \frac{1 + i\sqrt{5}}{2}$

(8) $x^2 + 10x - 50 = 0$

(9) $k = 3$ のとき、解は $x = -1, -5$

$k = -2$ のとき、解は $x = 0, 4$