与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列 $S$ は以下のように定義されています。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列 $S$ は以下のように定義されています。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

2. 解き方の手順

この和を求めるために、等比数列の和の公式を利用します。

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $4$ をかけた $4S$ を考えます。

$4S = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + (n-1) \cdot 4^{n-1} + n \cdot 4^n$

$S$ から $4S$ を引きます。

$S - 4S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}) - (1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + (n-1) \cdot 4^{n-1} + n \cdot 4^n)$

$-3S = 1 + (2 \cdot 4 - 1 \cdot 4) + (3 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4^2) + \dots + (n \cdot 4^{n-1} - (n-1) \cdot 4^{n-1}) - n \cdot 4^n$

$-3S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n$

$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}$ は初項 $1$, 公比 $4$, 項数 $n$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式から

$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} = \frac{1(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4^n - 1}{3}$

したがって、

$-3S = \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n$

$S = -\frac{1}{3} (\frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n)$

$S = -\frac{4^n - 1 - 3n \cdot 4^n}{9}$

$S = \frac{3n \cdot 4^n - 4^n + 1}{9}$

$S = \frac{(3n-1)4^n + 1}{9}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(3n-1)4^n + 1}{9}$