問題は、次の和 $S$ を求めることです。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

1. 問題の内容

問題は、次の和 $S$ を求めることです。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書きます。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

次に、$S$ を $1/3$ 倍したものを書きます。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

$S$ から $\frac{1}{3}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = (1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}) - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n})$

$\frac{2}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + \dots + (\frac{n}{3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^{n-1}}) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}$ は初項 $1$、公比 $\frac{1}{3}$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

したがって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\frac{1}{3^n} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{4 \cdot 3^{n-1}}$

$S = \frac{9 \cdot 3^{n-1} - (3 + 2n)}{4 \cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{9 \cdot 3^{n-1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}$

もしくは

$\frac{9}{4} - \frac{2n+3}{4 \cdot 3^{n-1}}$