問題12.1は連立一次方程式 $ \begin{cases} 3x + 2y = 2 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $ について、係数行列$A$の(1,2)成分、行列式$|A|$、余因子行列$\tilde{A}$の(2,2)成分、逆行列$A^{-1}$の(2,1)成分を求める問題です。 問題12.2は、与えられた行列の等式を満たすように行列の空欄を埋め、その結果を用いて連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - 2y + 2z = 2 \\ -x + 3y + z = -1 \end{cases} $ の解$(x, y, z)$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題12.1は連立一次方程式

$$

\begin{cases}

3x + 2y = 2 \\

2x - y = 3

\end{cases}

$$

について、係数行列$A$の(1,2)成分、行列式$|A|$、余因子行列$\tilde{A}$の(2,2)成分、逆行列$A^{-1}$の(2,1)成分を求める問題です。

問題12.2は、与えられた行列の等式を満たすように行列の空欄を埋め、その結果を用いて連立一次方程式

$$

\begin{cases}

2x + y - z = 1 \\

x - 2y + 2z = 2 \\

-x + 3y + z = -1

\end{cases}

$$

の解$(x, y, z)$を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題12.1

* 係数行列$A$は

$

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

$

なので、(1,2)成分は2です。

* 行列式$|A|$は

$

|A| = (3)(-1) - (2)(2) = -3 - 4 = -7

$

です。

* 余因子行列$\tilde{A}$は

$

\tilde{A} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

$

なので、(2,2)成分は3です。

* 逆行列$A^{-1}$は

$

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/7 & 2/7 \\ 2/7 & -3/7 \end{pmatrix}

$

なので、(2,1)成分は$2/7$です。

問題12.2

* 与えられた行列の等式を行列の積として計算し、空欄を埋めます。

まず、左側の行列の積を計算すると、以下のようになります。

$

\begin{pmatrix}

\text{い} & -4 & 0 \\

-3 & 1 & \text{ろ} \\

1 & \text{は} & -5

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -1 \\

1 & -2 & 2 \\

-1 & 3 & 1

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

2\text{い} - 4 & \text{い} + 8 & -\text{い} - 8 \\

-6 - 1 - \text{ろ} & -3 - 2 + 3\text{ろ} & 3 + 2 + \text{ろ} \\

2 + \text{は} + 5 & 1 - 2\text{は} - 15 & -1 + 2\text{は} - 5

\end{pmatrix}

$

これが単位行列に等しいので、

$

\begin{pmatrix}

2\text{い} - 4 & \text{い} + 8 & -\text{い} - 8 \\

-6 - 1 - \text{ろ} & -3 - 2 + 3\text{ろ} & 3 + 2 + \text{ろ} \\

2 + \text{は} + 5 & 1 - 2\text{は} - 15 & -1 + 2\text{は} - 5

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$

$\text{い} + 8 = 0$ より、$\text{い} = -8$

$5 + \text{ろ} = 0$ より、$\text{ろ} = -5$

$7 + \text{は} = 0$ より、$\text{は} = -7$

よって、行列は

$

\begin{pmatrix}

-8 & -4 & 0 \\

-3 & 1 & -5 \\

1 & -7 & -5

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -1 \\

1 & -2 & 2 \\

-1 & 3 & 1

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$

となります。

* 連立一次方程式の解を求める。与えられた方程式を行列で表すと

$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -1 \\

1 & -2 & 2 \\

-1 & 3 & 1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 \\ 2 \\ -1

\end{pmatrix}

$

となる。

上記の行列の逆行列は

$

\begin{pmatrix}

-8 & -4 & 0 \\

-3 & 1 & -5 \\

1 & -7 & -5

\end{pmatrix}

$

なので、

$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-8 & -4 & 0 \\

-3 & 1 & -5 \\

1 & -7 & -5

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

1 \\ 2 \\ -1

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-8 - 8 + 0 \\

-3 + 2 + 5 \\

1 - 14 + 5

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-16 \\ 4 \\ -8

\end{pmatrix}

$

よって、解は $(x, y, z) = (-16, 4, -8)$です。

3. 最終的な答え

問題12.1

* Aの(1,2)成分: 2

* Aの行列式$|A|$: -7

* Aの余因子行列$\tilde{A}$の(2,2)成分: 3

* Aの逆行列$A^{-1}$の(2,1)成分: 2/7

問題12.2

* 行列の空欄: い = -8, ろ = -5, は = -7

* 連立方程式の解: $(x, y, z) = (-16, 4, -8)$