(1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha\beta$ (3) $(\alpha - \beta)^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$

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1. 問題の内容

1. 2次方程式 $2x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha\beta$

(3) $(\alpha - \beta)^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 和が3、積が8になる2つの数を求めます。

3. $-2 + 5i$、$-2 - 5i$ を解にもつ2次方程式を1つ作成します。

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2. 解き方の手順

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1. (1) $\alpha + \beta$、(2) $\alpha\beta$

解と係数の関係から、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ が成り立ちます。

今回の2次方程式は $2x^2 + 3x + 4 = 0$ なので、$a = 2$、$b = 3$、$c = 4$ です。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$

$\alpha\beta = \frac{4}{2} = 2$

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1. (3) $(\alpha - \beta)^2$

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2) - 4\alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$

これに(1)と(2)の結果を代入します。

$(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{3}{2})^2 - 4 \cdot 2 = \frac{9}{4} - 8 = \frac{9}{4} - \frac{32}{4} = -\frac{23}{4}$

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1. (4) $\alpha^3 + \beta^3$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

これに(1)と(2)の結果を代入します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (-\frac{3}{2})((-\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot 2) = (-\frac{3}{2})(\frac{9}{4} - 6) = (-\frac{3}{2})(\frac{9}{4} - \frac{24}{4}) = (-\frac{3}{2})(-\frac{15}{4}) = \frac{45}{8}$

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2. 和が3、積が8になる2つの数

2つの数を $x$、$y$ とすると、

$x + y = 3$

$xy = 8$

$y = 3 - x$ を $xy = 8$ に代入すると、$x(3 - x) = 8$

$3x - x^2 = 8$

$x^2 - 3x + 8 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{23}}{2}$

よって、$x = \frac{3 + i\sqrt{23}}{2}$ のとき、$y = 3 - \frac{3 + i\sqrt{23}}{2} = \frac{6 - 3 - i\sqrt{23}}{2} = \frac{3 - i\sqrt{23}}{2}$

$x = \frac{3 - i\sqrt{23}}{2}$ のとき、$y = \frac{3 + i\sqrt{23}}{2}$

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3. $-2 + 5i$、$-2 - 5i$ を解にもつ2次方程式

2つの解を $\alpha = -2 + 5i$、$\beta = -2 - 5i$ とすると、解と係数の関係から

$\alpha + \beta = -2 + 5i - 2 - 5i = -4$

$\alpha\beta = (-2 + 5i)(-2 - 5i) = (-2)^2 - (5i)^2 = 4 - 25i^2 = 4 + 25 = 29$

2次方程式は $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ なので、

$x^2 - (-4)x + 29 = 0$

$x^2 + 4x + 29 = 0$

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3. 最終的な答え

1. (1) $-\frac{3}{2}$

(2) $2$

(3) $-\frac{23}{4}$

(4) $\frac{45}{8}$

2. $\frac{3 + i\sqrt{23}}{2}$、$\frac{3 - i\sqrt{23}}{2}$

3. $x^2 + 4x + 29 = 0$